|
|
|
|
|
|
||
Пример.1.
Вычислить двойной интеграл по области 
от заданной функции
f(x, y ).
Пусть область задана соотношениями.
рис 3.2
Эта область является элементарной как относительно оси y (см. п.3.3), так и относительно оси x (см. п.3.3).
Рассмотрим функцию f(x,y) = (x+y)2 и вычислим двойной интеграл от этой функции по заданной области при помощи перехода от двойного интеграла к повторному.
Вычислим этот интеграл, исходя из первого представления области
как элементарной относительно оси x и используя теорему 1 пункта 3.3 (функция f(x,y) = (x+y)2 непрерывна и потому все требования теоремы выполнены):
Аналогично, используя второе представление области как элементарной относительно оси y и теорему 1 пункта 3.3, получим
В пункте 3.5 будет показано, что с геометрической точки зрения вычисленный интеграл равен объему тела V:
рис 3.3
Пример 2.
В данном повторном интеграле 
изменить порядок интегрирования и вычислить его для заданной функции.
Прежде всего, исходя из пределов интегрирования заданного повторного интеграла, опишем область интегрирования - внешний интеграл задает изменение переменной x : 0 
x 2, в свою очередь, внутренний задает пределы изменения переменной y : 0 y 2x.
Первое из двойных неравенств - 0 x 2 показывает, что область полностью лежит в вертикальной полосе:
рис 3.4
Второе неравенство 0 y 2x означает, что рассматриваемая область расположена между графиками двух прямых y = 0 и y = 2x. Таким образом, представляет из себя треугольник ОАВ, одна из сторон которого лежит на оси x, другая на прямой x = 2, a третья на прямой y= 2x:
рис 3.5
Эта область может быть описана как элементарная относительно оси x :
.
Для того чтобы поменять пределы интегрирования, опишем область как элементарную относительно оси y. Для этого спроектируем наш треугольник на ось y, получим отрезок - [0,4], откуда заключаем, что y в области изменяется от 0 до 4. Теперь зафиксируем любое значение y0 из этого промежутка и выясним при каких x точки (x, y0 ) лежат внутри области . Посмотрев на рис. 3.5, видим, что эти точки образуют отрезок с началом в точке, лежащей на прямой y = 2x и концом в точке, лежащей на прямой x = 2, т.е. при всяком yÎ [0,4] переменная x изменяется от y/2 до 2, тогда область имеет следующий вид как область, элементарная относительно оси x:
.
Теперь, используя это представление, изменим порядок интегрирования в заданном интеграле
Вычислим заданный интеграл непосредственно:
.
Мы можем проверить полученный результат, повторив вычисления для интеграла с измененным порядком интегрирования:
Замечание.
Используя равенство x + y = 
, исходный двойной интеграл можно преобразовать в тройной повторный интеграл от f(x,y,z)
1:
В пункте 3.5 будет показано, что вычисленный интеграл равен объему треугольной пирамиды, ограниченной поверхностями:
z = 0, x = 2, y = 2x, z = x+ y.
рис 3.6
Пример 3.
Изменить порядок интегрирования и вычислить интеграл 
.
Аналогично примеру 2, исходя из пределов интегрирования этого повторного интеграла, опишем пределы изменения переменных x и y в области интегрирования : 0 x 1, 0 y x2 + 1, откуда имеем описание области как элементарной относительно оси y:
.
Изобразим эту область.
рис 3.7
При проектировании на ось y получим отрезок [0,2].
Заметим, что при изменении y от 0 до 1 переменная x изменяется от 0 до 1, а при изменении y от 1 до 2 переменная x изменяется от точки, лежащей на параболе y = x2 + 1 до 1. Введем обозначения
h2 (y) = 1.
Опишем область при помощи этих функций как элементарную относительно оси x:
.
Используя 4-ое свойство кратных интегралов, можно двойной и соответствующий ему повторный интеграл по области представить в виде суммы двух интегралов по областям 1и 2 , где
:
Вычислим заданный интеграл непосредственно:
Проверим результат, вычисляя тот же двойной интеграл при втором порядке интегрирования:
Используя равенство 
(см. п.2.3.1), преобразуем заданный двойной интеграл в тройной повторный :
.
В пункте 3.5 будет показано, что вычисленный нами интеграл равен объему некоторого тела V.
Опишем это тело
рис 3.8
Пример 4.
Изменив порядок интегрирования в данном выражении, записать результат в виде одного повторного интеграла:
Восстановим 1 - область интегрирования первого слагаемого данной суммы:
0 x 1 , 0 y x, изобразим эту область:
рис 3.9
На рис. 3.9 представлена искомая область - треугольник ABC .
Опишем область 1 как область, элементарную относительно оси y:
.
Изменим порядок интегрирования в первом из интегралов заданной суммы.
Аналогично восстановим 2- область интегрирования второго слагаемого данной суммы:
1 x 2 , 0 y 2 - x, изобразим эту область
рис 3.10
Опишем область 2 - треугольник ВСD как область, элементарную относительно оси y:
Изменим порядок интегрирования во втором интеграле заданной суммы.
.
Таким образом мы, изменив порядок интегрирования в обоих слагаемых заданного выражения, преобразовали его к сумме интегралов, в каждом из которых интегрирование во внешнем интеграле ведется от 0 до 1. Пусть g1(y) и g2(y) - соответствующие внутренние интегралы. В силу линейности определенного интеграла эти интегралы можно сложить:
Применив эту формулу, будем иметь
.
Наконец, используя свойство аддитивности определенного интеграла относительно промежутка, интегралы в скобках можно сложить
Окончательно получаем
