Уровень: основной текст примеры упражнения указания решения

Вычисление площади в декартовой системе координат

1.

Требуемая площадь равна (см. п.2.6.1.а ) . Каждый из этих интегралов вычисляем по частям.

В первом принимаем . Тогда и

.

Во втором интеграле положим . Тогда .

Складывая эти результаты, получим .

2.

Искомая площадь равна (см. п.2.6.1.а )

=

3.

Решая систему , получим координаты точек пересечения данных кривых: (0,0), (2,2) и (-2,2).

Преобразуем уравнение окружности к каноническому виду , откуда выразим y: . Так как по условию задачи нам нужна верхняя часть окружности, то берем ветку со знаком +.

Тогда площадь между кривыми вычисляется по формуле п.2.6.1.а . Учитывая симметрию области, получим:

4.

Рассматривая соотношение как функцию x от аргумента y, построим график этой функции

Интеграл тоже будем считать по переменной y:

5.

Решая систему уравнений , получим точки пересечения данных парабол . Интеграл удобнее считать по переменной y, поэтому, выразив из этих уравнений x и учитывая симметрию области, получим

6.

Решая систему уравнений , получим точку пересечения данных кривых (4,2). Тогда искомая площадь будет равна (см. п.2.6.1.а )

7.

Производная от данной функции в точке будет равна 4. Поэтому, подставляя в уравнение касательной данные задачи, получим уравнение требуемой касательной y=4x-6. Искомую площадь будем искать как разность площадей криволинейной трапеции под заданной кривой на промежутке [0,3] и площади треугольника, лежащего под касательной на промежутке [3/2,3].

8.

Искомая площадь вычисляется с помощью несобственного интеграла

9.

Очевидно, что искомая площадь вычисляется с помощью несобственного интеграла : , который мы будем вычислять сначала с помощью подстановки . Тогда . Последний интеграл возьмем по частям, положив . Отсюда и

10.

Искомая площадь вычисляется с помощью несобственного интеграла от неограниченной функции :

11.

Искомая площадь вычисляется с помощью несобственного интеграла от неограниченной функции . Найдем первообразную подынтегральной функции, которую вычислим по частям, положив . Тогда и F(x) = = Несобственный интеграл будет равен = 1, так как

12.

Искомая площадь вычисляется с помощью несобственного интеграла от неограниченной функции , который мы возьмем по частям, полагая . Тогда и