|
|
|
|
|
|
||
2.5 Решения
1. Промежуток интегрирования бесконечен и, кроме того, функция не ограничена в точке x = 1.Поэтому вычислим этот интеграл, используя оба определения несобственных интегралов 
. Последний интеграл вычислим с помощью подстановки 
. Тогда (не забудьте пересчитать пределы интегрирования): 
.
Вычисляя указанный предел, получим 
= φ
2. Это интеграл по бесконечному промежутку и, кроме того, подынтегральная функция не ограничена в точке x = 1, которая находится внутри промежутка интегрирования. Поэтому разобьем промежуток на две части [0, 1] и 
и в первом интеграле обозначим 1-x = t, а во втором x ? 1 = t. Тогда
=
.
Каждое из этих слагаемых является сходящимся интегралом. Действительно, подынтегральные функции не ограничены в точке x = 0 и имеют в этой точке главную часть 
, интеграл от которой сходится. Второй интеграл сходится также и на бесконечности, так как функция будет эквивалентна 
.Разобьем второй интеграл на сумму двух: 
. Тогда получим = -
.
В последнем интеграле сначала сделаем подстановку 
, затем получившийся интеграл вычислим по частям: 
.
Сделаем теперь замену переменной 
: 
. Раскладывая последнюю подынтегральную функцию на простейшие дроби, получим:
= 
Возвращаясь к исходному интегралу, получим
=
.
3. Этот интеграл имеет две особенности: бесконечный промежуток интегрирования и неограниченную в нуле функцию. Разобьем его на два слагаемых точкой x = 1. Каждое из представляет собой сходящийся интеграл: первое ? интеграл от неограниченной в нуле функции, причем в окрестности нуля выполняется неравенство 
(см ), где k ? произвольное положительное число. Если взять k=1/2, то интеграл от правой части этого неравенства будет сходиться, значит, будет сходиться и исследуемый интеграл. Для доказательства сходимости второго слагаемого воспользуемся неравенством 
( s >0), которой выполняется при достаточно больших x (см). Если положить s = ½, то при больших x будем иметь 
. Следовательно, второе слагаемое тоже сходится.
Итак, имеем 
=
+
.
Сделаем во втором интеграле замену переменной x = 1/t. Тогда получим
. Таким образом, данный интеграл будет равен нулю.
4. Прежде всего, отметим, что в точке x = 0 подынтегральная функция не определена, но 
, то есть интеграл от этой функции по любому конечному промежутку вида [0, A] является собственным и существует.
Для исследования интеграла на бесконечности воспользуемся неравенством: 
. Так как интеграл от правой части сходится, то сходится и данный.
5. Подынтегральная функция не определена в точке x = 0, но 
, поэтому точка x = 0 не является особой. Остается исследовать интеграл только на бесконечности. Используя очевидное неравенство
> 
, справедливое при больших x, получим, что данный интеграл расходится.
6. Этот интеграл по бесконечному промежутку и подынтегральная функция не ограничена в точке x = 0. Сделаем замену переменной 
. Тогда
= 
. Так как 
(предел легко вычисляется по правилу Лопиталя), то при больших x очевидно неравенство 
и интеграл расходится.
7. Этот интеграл имеет две особенности: промежуток интегрирования бесконечен и в точке x = 0 функция не ограничена. Разобьем промежуток интегрирования на два: 
=
.
Так как 
, то 
и интеграл расходится.
8. Разобьем данный интеграл на два:
= 
Для подынтегральной функции во втором слагаемом выполнено неравенство 
, следовательно, если 
, интеграл расходится.
При 
> 1 для оценки второго слагаемого воспользуемся неравенством 
, из которого следует, что второй интеграл сходится.
В первом слагаемом подынтегральная функция будет не определена в точке x = 0.причем, при 
имеем
, откуда следует, что первый интеграл будет сходиться, если < 2.
Таким образом, данный интеграл сходится, если 1 < < 2.
= 
.
Исследуем сначала второе слагаемое, для чего воспользуемся неравенством 
, которое выполнено при любом положительном k. Тогда 
откуда следует, что, если взять k < ½, то интеграл сходится при всех значениях параметра .
Первое слагаемое имеет особенность в точке x = 0. Если 
, то 
и интеграл в этом случае расходится.
Если > 0, то 
. Тогда, при < 1 
и интеграл сходится, если > ½ и расходится, если ½ < <1.
При > 1 имеем 
и интеграл сходится. Аналогично, он будет сходиться и при = 1.
Таким образом, данный интеграл сходиться при >1/2.
10. Представим данный интеграл в виде суммы двух:
=
.
Так как 
(этот предел можно вычислить по правилу Лопиталя), то в первом интеграле будет выполнено 
и, следовательно, этот интеграл сходится при > -1 и расходится в противном случае.
Второй интеграл будет сходиться при любых , так как для достаточно больших x выполняется неравенство 
.
Следовательно, данный интеграл сходится при > -1.