Опр.1
Опр.2
6.3. Нормированное пространство
Линейное пространство L называется
нормированным, если любому его элементу x поставлено в соответствие
число, называемое нормой и обозначаемое 
,
причем при этом выполнены следующие условия:
Всякое нормированное пространство становится
метрическим, если ввести в нем расстояние 
.
Справедливость аксиом метрического пространства вытекает из свойств 1)
– 3) нормы. На нормированные пространства переносятся, таким образом,
все понятия и факты, которые были изложены для метрических пространств.
Примеры.
6.3.1. Множество вещественных чисел становится
нормированным пространством, если положить 
.
6.3.2 
Заметим, что в этом же пространстве можно ввести норму и по-другому, например, так
или 
.
(Аксиомы нормы 1)-3) выполняются).
6.3.3. В пространстве 
непрерывных функций на отрезке 
определим норму формулой
.
Соответствующее расстояние уже рассматривалось в разделе 6.1. "Метрическое пространство" в примере 6.1.3.
.
Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.