Опр.1
Опр.2
Опр.3
Теорема
Опр.4
6. Элементы функционального анализа и теории операторов
6.1. Метрическое пространство
Пусть M – произвольное множество
и пусть каждой паре элементов x, y сопоставлено неотрицательное
число 
так, что для всех 
Функция 
называется метрикой (расстоянием), а само множество M, снабженное
метрикой, -метрическим пространством.
Примеры.
6.1.1 Можно положить для элементов произвольного множества
получим метрическое пространство.
6.1.2 Множество вещественных чисел с расстоянием
образует метрическое пространство 
.
6.1.3 Множество C[a,b] всех непрерывных функций, определенных на отрезке [a,b], с расстоянием
.
Полное метрическое пространство.
Число L
называется пределом последовательности 
,
если для любого 
существует номер 
зависящий
от 
такой, что для любого 
.
.
Для последовательности вещественных чисел существует критерий Коши сходимости последовательности:
Но в произвольном метрическом пространстве данный критерий, вообще говоря, не имеет места.
Последовательность 
точек
метрического пространства M
называется фундаментальной, если для любого существует
такое число N, что 
для всех 
Теорема. Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна.
Доказательство.
Пусть
сходится к x. Тогда для любого
найдется N, что 
для всех n>N. Тогда 
для любых 
.
Обратное, вообще говоря, неверно, то есть фундаментальная последовательность может и не сходиться.
Определение. Если в пространстве M любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.
Пример
6.1.4 Множество вещественных чисел с естественной метрикой
является полным пространством, а множество рациональных чисел с такой
же метрикой – неполное пространство.