Опр.1
Опр.2
Комплексное вещественное линейное пространство
называется евклидовым (предгильбертовым), если любым его двум элементам
f, g поставлено в соответствие комплексное число, называемое скалярным
произведением и обозначаемое (f,g), причем при этом выполнены следующие
условия:
Напомним ряд фактов из теории евклидовых пространств известных из общего курса математики.
1. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
Доказательство
Рассмотрим доказательство в случае вещественного
скалярного произведения 
при любом 
(g,g)>0, следовательно, дискриминант квадратного трехчлена неположителен:
.
Итак, получили
Доказано.
Всякое евклидово пространство является нормированным с нормой
,
чтобы убедиться в этом, надо проверить свойства нормы:
,
.
То есть 
,
значит 
.
Евклидово пространство, полное по норме
,
называется гильбертовым пространством.