Опр.1
Опр. 2
Теорема
|
6.2. Принцип сжимающих отображений Ряд вопросов, связанных с существованием и единственностью решений уравнений того или иного типа (например, дифференциальных или алгебраических уравнений), можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Среди различных критериев существования и единственности неподвижной точки при такого рода отображениях один из простейших и в то же время наиболее важных – так называемый принцип сжимающих отображений. Отображение A метрического пространства M в себя называется сжимающим отображением (сжатием), если существует такое число , что для любых двух точек выполняется неравенство
Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если Ax=x. Иначе говоря, неподвижные точки – это решения уравнения Ax=x. Теорема. (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве M, имеет одну и только одну неподвижную точку. Доказательство. Пусть -произвольная точка в M. Положим Покажем, что последовательность фундаментальная. Действительно, считая для определенности , имеем Так как , то при достаточно большом n эта величина сколь угодно мала. В силу полноты M последовательность , будучи фундаментальной, имеет предел. Положим . Если , то в силу (1) . Поэтому . Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность. Если , то (1) принимает вид . Так как , отсюда следует, что . Теорема доказана. Пример. 6.2.1. Пусть f – функция, определенная на отрезке [a,b] и удовлетворяющая условию Липшица с константой K<1. Пусть f отображает отрезок [a,b] в себя. Тогда f есть сжимающее отображение и, согласно доказанной теореме, последовательность сходится к единственному корню уравнения . В частности, условие сжимаемости выполнено, если функция дифференцируема и . - получили одно решение в точке 0, так как в точке 1 нарушается сжимаемость, т.е. замкнутое изображение не сжимающее. Сжимаемости нет, так как при каждой итерации расстояние увеличивается. |
<<назад | главная страница | вперед>> |