1.2. Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик)
 -
уравнение колебаний струны. |
(1) |
Рассмотрим неограниченную струну и зададим начальные условия:
 |
(2) |
где
-функция,
задающая форму струны в начальный момент времени, |
 -скорость
точки струны в начальный момент. |
Уравнение решается в явном виде с помощью замены переменных:
,
где
 |
, -некоторая
функция только переменной η, то есть  не
зависит от  . |
Интегрируя это равенство по
η при фиксированном ξ, получим:
.
Вернемся к старой переменной:
 . |
(3) |
-
описывает волну, бегущую направо.
Например, функция f имеет вид x-at=0, следовательно x=at,
то есть “горб” движется направо со скоростью а.
- описывает волну, бегущую налево.
x+at=0, следовательно x=-at, то есть “горб” движется налево
со скоростью а.
Функция (3) является общим интегралом уравнения (1). Теперь необходимо удовлетворить начальным условиям (2):
 . |
(4) (5) |
Интегрируя (5), получим:
 |
, где С=const. | (6) |
Из равенств (4) и (6) находим
 . |
(7) (8) |
Выражения (7), (8) подставляем в (3).
.
 |
-формула Даламбера. | (9) |