![]() ![]() ![]() ![]() |
|
|
![]() |
Рассмотрим, как вычисляются скорость и ускорение точки при естественном способе задания ее движения, то есть когда заданы траектория точки и закон движения точки вдоль этой траектории в виде s = s(t).
В этом случае векторы v и a определяют по их проекциям не на оси системы координат Oxyz, а на подвижные оси P nb, имеющие начало в точке Р и движущиеся вместе с нею (см.рис.). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника, направлены следующим образом:
Определение скорости точки
Вектор скорости v точки направлен по касательной к траектории и определяется одной проекцией , равной первой производной от криволинейной координаты s этой точки по времени:
= ds / dt =
.
Модуль скорости v = | | и, следовательно, значения v и
могут отличаться лишь знаком:
Таким образом, величина определяет одновременно и модуль скорости, и сторону, в которую направлен вектор v вдоль касательной.
Определение ускорения точки
Вектор ускорения a точки лежит в соприкасающейся плоскости P n и определяется двумя проекциями
и an (ab = 0):
= d
/ dt = d2s /dt2 или
=
=
.
an = v2 / .
Вектор ускорения a является векторной суммой касательной составляющей , напраленной вдоль касательной P
, и нормальной составляющей an, направленной вдоль главной нормали Pn:
a = + an.
При этом составляющая может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси P
в зависимости от знака проекции
, а составляющая an будет всегда направлена в сторону вогнутости кривой, так как проекция an
0.
Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то модуль вектора a определяется по формуле:
a = ( 2 + an2 )
.
Рассмотрим теперь геометрическую характеристику траектории точки, называемую радиусом кривизны .
Радиус кривизны кривой в какой-либо ее точке равен радиусу окружности, которая наилучшим образом аппроксимирует по сравнению с другими окружностями участок кривой из малой окрестности рассматриваемой точки. Величина, обратная радиусу кривизны, называется кривизной кривой k = 1 / в данной точке.
В частности, для окружности радиус кривизны одинаков во всех ее точках и равен ее радиусу: = R (кривизна окружности k = 1 / R); для прямой радиус кривизны
=
(кривизна прямой k = 0).
Рассмотрим условия, при которых касательное и нормальное ускорения обращаются в нуль.