	Уровень:

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Рассмотрим, как вычисляются скорость и ускорение точки при задании ее движения в полярных координатах, то есть когда заданы уравнения движения точки в виде r = r(t); = (t).

В этом случае векторы v и a определяются по их проекциям на взаимно перпендикулярные подвижные оси Pr , имеющие начало в точке Р и движущиеся вместе с нею (см.рис.). Эти оси направлены следующим образом:

ось Pr направлена по радиусу-вектору точки в направлении от полюса О к точки Р;
ось P получается путем поворота вокруг точки Р оси Pr на прямой угол в положительном направлении отсчета угла , то есть против хода часовой стрелки.

Определение скорости точки

Вектор скорости v точки направлен по касательной к траектории и определяется своими проекциями v_r и на оси Pr и P по формулам:

v_r = dr/dt = ;

= r(d /dt) = r .

Величины v_r и

соответсвенно называются радиальной и трансверсальной скоростями точки.

В зависимости от знаков производных и радиальная и трансверсальная скорости могут быть как положительными, так и отрицательными (на рисунке показан случай, когда обе эти скорости положительные).

Модуль скорости v = ( v_r² +

² ).

Определение ускорения точки

Вектор ускорения a точки направлен в сторону вогнутости траектории и определяется своими проекциями a_r и на оси Pr и P по формулам:

a_r = d²r/dt² - r (d /dt)² = - r ( )²;

= r (d² /dt²) + 2 (dr/dt) (d /dt) = r + 2 .

Величины a_r и

соответсвенно называются радиальным и трансверсальным ускорениями точки.

Радиальное и трансверсальное ускорения могут быть как положительными, так и отрицательными (на рисунке показан случай, когда радиальное ускорение положительное, а трансверсальное - отрицательное).

Модуль ускорения a = ( a_r² +

² ).