Теорема
Теорема
6.5.4. Решение уравнений с операторами Af = g
Рассмотрим уравнение:
Предполагаем, что рассматриваем линейное нормированное пространство (полное).
(I-M)f=g,
где
I- единичный оператор, 
.
g
- заданная функция,
f - неизвестная
функция.
Покажем, что решение уравнения может быть получено в форме ряда
.
Необходимо доказать, что этот ряд сходится и дает решение.
При доказательстве используем следующую теорему:
Множество ограниченных линейных
операторов в банаховом пространстве является банаховым пространством.
Докажем сходимость ряда из операторов 
.
Для этого нужно доказать сходимость последовательности
частичных сумм этого ряда:
.
Пусть 
-два
элемента последовательности
.
Пусть 
,
тогда
,
,
следовательно, последовательность частичных сумм фундаментальна . Поскольку пространство полное, она сходится, то есть существует предельный элемент:
:
-этот
ряд называется рядом Неймана для решения уравнения 
.
Его оценка: 
Итак, мы доказали следующую
теорему:
в полном метрическом пространстве оператор I-M, где ,
обратим. Обратный оператор может быть представлен в виде ряда ,
а его норма оценивается следующим образом: 
.
В доказанной теореме рассмотрен оператор близкий к единичному.
Обобщим доказанную теорему на случай оператора, близкого к обратимому.
Решим уравнение 
где 
близок к оператору
.
-
обратимый оператор, то есть 
.
Докажем, что если 
-
мало, то 
-
обратимый.
.
Надо потребовать, чтобы 
При выполнении данного условия к указанному уравнению применима предыдущая
теорема. Тогда:
решение
для оператора, близкого к обратимому.
оценка
нормы данного оператора.
Итак, доказали теорему, что если 
обратимый
оператор в полном метрическом пространстве, то линейный оператор L,
удовлетворяющий условию 
обратим, 
и
норма обратного оператора 