Опр. 1
Опр. 2
Опр. 3
Опр. 4
Опр. 5
Опр. 6
6.5.1. Линейный оператор
Оператором называется отображение
где 
-некоторые
пространства (мы будем обычно рассматривать гильбертовы пространства).
Область определения оператора 
-
множество, на котором задано действие оператора,
область значений оператора 
.
Обычно мы будем иметь дело со случаем H=G.
Операторы 
называются равными, если:
Оператор 
называется расширением А,
а А – сужением
(обозначается 
),
если:
Оператор А называется непрерывным
в точке 
если
для всякого 
найдется такое 
,
что 
если 
Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке D(A).
Линейный оператор –это многомерный аналог
функции одной переменной, графиком которой служит прямая, проходящая через
начало координат, то есть функций 
для некоторого 
.
Оператор L с областью определения
D(L) называется линейным, если для всех 
и всех 
:
.
Многие и весьма разнообразные уравнения представимы в виде
где L – линейный оператор.
Рассмотрим примеры линейных операторов.
Примеры.
1. Один из простейших примеров линейного оператора в функциональном пространстве является умножение на заданную функцию
,
то
есть оператор А определен требованием, чтобы
Если 
непрерывна,
то
,
где 
Для того чтобы левая часть имела смысл,
f должна быть достаточно гладкой. Поскольку g непрерывна,
естественно взять в качестве области определения искомого оператора 
и задать 
в этой области соотношением
При этом функция Af будет непрерывной и не обязательно дифференцируемой. Поэтому
а уравнение примет вид 
.
-
непрерывная функция двух переменных. Определим для всех 
интегральный оператор L соотношением
.
При этом 
будет непрерывной функцией и L- линейный оператор из 
в себя. Функция называется
ядром интегрального оператора L.