2.5. Уравнение теплопроводности с неоднородными краевыми условиями
Рассмотрим уравнение теплопроводности с неоднородными краевыми условиями на конкретном примере.
Найти решение уравнения
  |
(1) |
с начальными и краевыми условиями:
 . |
(2) (3) |
Сделаем замену следующим образом: 
.
.
Указанную замену функции сделали именно для
получения нулевых краевых условий.
Начальное условие (2) дает:
 |
(4) |
то есть изменилось начальное условие.
Далее задача решается аналогично случаю с однородными краевыми условиями,
которая была рассмотрена в разделе
2.1 этой главы.
 |
(5) |
Подставив
в выражение (5), получим
,
-решение
задачи.С физической точки зрения приведенное краевое условие означает, что стержень нагревается только с одного конца. При больших временах полученное решение стремится к линейной функции.