2.4.
Уравнение теплопроводности для стержня, излучающего с боковой
поверхности
Рассмотрим конкретную задачу:
 |
(1) (2) (3) |
Наличие слагаемого(
)
означает, что с боковых стенок стержня идет излучение. Длину
стержня задали равной единице (l=1).
Применим метод разделения переменных.
,
причем 
.
Пусть
 |
(4) (5) |
Рассмотрим уравнение (5). Напишем характеристическое уравнение:
- общее решение уравнения
(5).
Учитывая краевые условия имеем Найдем решение характеристического уравнения для уравнения (4):
,
тогда 
.
-
решение уравнения (5).
Общее решение задачи имеет вид:
.
Удовлетворим условию (2):
 |
(6) |
 . |
(7) |
Найдем значение
.
Для этого необходимо вычислить интеграл
.Два раза проинтегрируем по частям:
,(второе интегрирование проводится аналогично) получаем
 |
(8) |
Подставив выражение (8) в (7), получим
Найденное значение подставим в выражение (6) и получим решение задачи:
.