|
|
|
|
|
|
||
Область G представляет из себя прямоугольник, поэтому двойной интеграл по G записывается в виде повторного следующим образом:
Область G представляет из себя прямоугольник, поэтому двойной интеграл по G записывается в виде повторного следующим образом:
Вычислим неопределенные интегралы, соответствующие каждому из слагаемых:
Таким образом,
Область G представляет из себя прямоугольник, поэтому двойной интеграл по G записывается в виде повторного следующим образом:
Вычислим внутренний интеграл (при этом x не изменяется, то есть играет роль константы):
Теперь вычислим внешний интеграл :
Область G представляет из себя прямоугольник, поэтому двойной интеграл по G записывается в виде повторного следующим образом:
Вычислим внутренний интеграл :
Таким образом,
Область G может быть представлена в виде
следовательно, G является элементарной относительно оси x областью . Согласно теореме 1 п. 3.3 , двойной интеграл по G может быть представлен в виде повторного следующим образом
Область G может быть представлена в виде
следовательно, G является элементарной относительно оси x областью .
Согласно теореме 1 п. 3.3 , двойной интеграл по G может быть представлен в виде повторного следующим образом:
Область G может быть представлена в виде
следовательно, G является элементарной относительно оси y областью .
Согласно теореме 1 п. 3.3 , двойной интеграл по G может быть представлен в виде повторного следующим образом:
Область G может быть представлена в виде
следовательно, G является элементарной относительно оси y областью .
Согласно теореме 1 п. 3.3 , двойной интеграл по G может быть представлен в виде повторного следующим образом:
Область G может быть представлена в виде объединения трех множеств:
где
следовательно, G является объединением элементарных относительно оси y областей . Согласно теореме 1 п. 3.3 , двойной интеграл по G может быть представлен в виде повторного следующим образом:
Область G может быть представлена в виде объединения двух множеств:
где
следовательно, G является объединением элементарных относительно оси y областей . Согласно теореме 1 п. 3.3 , двойной интеграл по G может быть представлен в виде повторного следующим образом:
Область G может быть представлена в виде объединения двух множеств:
где
следовательно, G является объединением элементарных относительно оси y областей . Согласно теореме 1 п. 3.3 , двойной интеграл по G может быть представлен в виде повторного следующим образом:
Заметим, что при переходе к полярным координатам справедливо равенство
Поэтому данный интеграл вычисляется следующим образом:
В силу симметрии объем может быть вычислен следующим образом:
каждое из которых ограничено одним из параболоидов и плоскостью z = 0.
Для вычисления первого из объемов перейдем к стандартным полярным координатам , для вычисления второго перейдем к обобщенным полярным координатам вида: 
Якобиан перехода равен 
Тогда
Сфера и параболоид пересекаются по некоторой кривой, лежащей в горизонтальной плоскости. Найдем уравнение этой кривой:
Отсюда искомое уравнение имеет вид
Поэтому объем тела может быть найден следующим образом:
0. В сферических координатах уравнение границы тела выглядит так:
Поскольку расстояние до начала координат неотрицательно, произведение в правой части этого выражения также должно быть неотрицательным. Это возможно в двух случаях -
при этом либо 
либо
В силу симметрии в каждом из этих 4-х случаев возникают равновеликие фигуры. Отсюда, объем тела вычисляется следующим образом:
Сделаем в интегралах замену переменных
