	Уровень: Глоссарии:

Множество Мандельброта

Выше был рассмотрен один из путей построения фракталов - последовательные операции построения подобных элементов. Теперь перейдем к фракталам, возникающим согласно схеме из §7.1.

Рис. 1 Схематическая диаграмма динамического процесса x_n+1=f(x_n, С)

В 1980 г. Бенуа Мандельброт обнаружил универсальное множество, теперь носящее его имя. Мандельброт вместо действительных чисел рассмотрел комплексные и наблюдал процесс х₀ х₁ х₂ не на прямой, а в плоскости. Процесс Мандельброта осуществляется по формуле

х_n+1=f(х_n)=х_n

+C, C = а + bi,

т. е. выбираем произвольное число х₀, возводим его в квадрат, прибавляем константу С и получаем х₁; затем повторяем для х₂, х₃ и т. д.

Положим С = 0, тогда х₀ х₀² х₀⁴ х₀⁸ и эта последовательность имеет три возможности:

числа становятся все меньше и их последовательность стремится к нулю, т.е. нуль становится аттрактором для процесса х х . Все точки, лежащие на расстоянии меньше 1 от аттрактора движутся к нему.
числа становятся все больше и стремятся к бесконечности, которая является аттрактором для этого процесса. Все точки, лежащие на расстоянии больше 1 от нуля, идут к бесконечности.
точки находятся на расстоянии 1 от нуля, их последовательности образуют окружность единичного радиуса.

Плоскость делится на две зоны влияния, а граница - окружность.

Сюрпризы начинаются, когда выберем ненулевое значение С = а + bi. Ниже изображено множество Мандельброта (ММ) для процесса х х +C ,где показана часть комплексной С-области: - 2,25 < Re C < 0,75, - 1,5 < ImC < 1,5. Фигура отражает соответствие различным значениям параметра С различных типов границ на комплексной С-плоскости. Обозначим черным цветом область значений С, где последовательность ограничена, а белым - экспоненциальное расхождение.

Рис. 2 Множество Мандельброта и его увеличенный фрагмент "в чистом виде"

Видно, что с выходом на комплексную плоскость получаем более полную картину по сравнению с анализом на действительной оси. Различный выбор комплексного числа С приводит к разнообразным конфигурациям. На простом черно-белом изображении не видно такого богатства форм. Сложную динамическую структуру можно отразить только в цвете.

Рис. 3 Эквипотенциальные поверхности вокруг множества Мандельброта. с

Опишем, как происходит раскрашивание окрестности ММ. Пусть множество изготовлено из металла и несет на себе электрический заряд, тогда поверхность имеет постоянный электрический потенциал, например, 1000 В. В области, окружающей проводник, потенциал падает до нуля. Можно построить эквипотенциальные линии, окружающие ММ. Например, линия, отвечающая потенциалу 1 В, настолько далека от ММ, что выглядит почти как окружность, а линия 900 В напоминает форму ММ и т. д. Раскраска рисунков соответствует этим линиям: разные цвета дают контурную карту электростатического потенциала между ММ и бесконечностью. С ММ тесно связан еще один фрактал - множество Жюлиа.

Рис. 4 Множество Жюлиа

Если в ММ Х₀=const=0, а параметр С - комплексная координата точки, на которой выпоняется построение; то в множестве Жюлиа С=const, задаваемая заранее, а плоскость построения - плоскость возможных начальных значений Х₀. Существует много программ, которые строят рассматриваемые фракталы, подробнее об этом можно узнать на домашней страничке авторов, а здесь мы предлагаем "небольшую" (520Кб) подборку картинок. Трудно поверить, но формула х х +C содержит в себе массу структур. Само множество ММ проявляется снова и снова, различных размеров, но всегда одной и той же формы.Это напоминает генетическую организацию высших организмов: каждая клетка содержит полный геном, совокупность всех форм проявления, но в любой точке организма проявляется только некоторая малая часть этих форм.