Последний уровень раздела предыдущего изложения   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Первый уровень изложения следующего раздела   Уровень: Глоссарии:


Построение фракталов. Дробная размерность

Рассмотрим т.н. множество Кантора и ковер Серпиньского. Эти множества обладают геометрической инвариантностью и известны как "множества средних третей". Отрезок единичной длины [0, 1] делится на три равные части, и средняя из них - интервал (1/3, 2/3) - вырезается. С каждым из остальных отрезков поступают точно так же (рис. 1).



Рис. 1 Построение множества Кантора.


Получаем последовательность отрезков все убывающей длины. На первом этапе имеем один отрезок, на втором - два, на третьем - четыре, на к-ом - 2k отрезков, длиной 3-k каждый. При k получим множество точек, которое называется множеством Кантора. Суммарная длина всех вырезанных отрезков при этом равна единице.

.

Обобщение канторова множества средних третей на случай плоских фигур приводит к ковру Серпиньского.



Рис. 2 Построение ковра Серпиньского


Возьмем квадрат со стороной, равной единице, и разделим его на девять равных квадратов; при первой итерации (к=1) удаляем центральный квадрат; аналогично поступим с каждым из оставшихся восьми квадратов (к=2) и т. д. (рис. 2). Пересечение полученных при k множеств - это ковер Серпиньского. Канторово множество, грубо говоря, является как бы "всюду дырявым".

Существует важная количественная характеристика канторова множества - дробная размерность. Рассмотрим некоторое множество А и попытаемся полностью покрыть его отрезками, квадратиками или гиперкубами со стороной (рис. 3). Пусть N - минимальное число кубиков или квадратиков, необходимых для покрытия А. Рассмотрим предел

. (1)

Величина d(А)=dF является метрической размерностью и называется фрактальной размерностью.



Рис. 3 Покрытие объекта (множества точек) кубами с длинной ребра :
а) одномерный объект, б) двумерное пространство.


Найдем фрактальную размерность квадрата со стороной 1. Для того чтобы закрыть этот квадрат необходимо иметь (1/ )2 квадратов со стороной . Следовательно, d равно

,
как это и ожидалось для плоскости.

Найдем d для множества Кантора (рис. 1). При первом разбиении для покрытия необходимо иметь два отрезка длиной 1/3; при втором разбиении потребуется четыре отрезка длиной 1/9 и вообще при n-ом разбиении нужно иметь 2n отрезков длиной (1/3)n. Итак, множество Кантора состоит из N=2n разделенных интервалов длиной (1/3)n каждый. Использовав определение (1), получим

.

Таким образом, множество Кантора - промежуточное между точкой (d=0) и линией (d=1), т. е. оно является фракталом.

Определим фрактальную размерность ковра Серпиньского. Имеем при первом (к=1) и последующих разбиениях



k=1 N=8=8 =(1/3)
k=2 N=8*8=8 =(1/3)
k=3 N=8*8*8=8 =(1/3)
k=n N=8n =(1/3)n


отсюда

Следовательно, ковер Серпиньского - это уже не линия с размерностью 1, но еще и не поверхность, размерность которой 2. Это что-то между линией и поверхностью. Самым неожиданным является то, что в природе существуют объекты, представляющие аналог ковра Серпиньского с размерностью 1<d<2. Это фрактальные агрегаты коллоидных частиц.

Рассмотрим теперь другой классический фрактальный объект - снежинку. Снежинка имеет бесконечный периметр, хотя ограничивает конечную область плоскости. Возьмем равносторонний треугольник, разделим каждую из его сторон на три части и по каждой из трех центральных третей построим по равностороннему треугольнику меньших размеров. Итерируя это построение бесконечно много раз, получим фрактальный объект, называемый иногда кривой Коха, размерность которого d = ln4/ln3 ~ 1,26 (рис.4).

Рис 4. Фрактальный объект в форме снежинки (кривая Коха)


Аналогичным способом можно построить много различных фракталов. Приведем некоторые из них.











Далее