|
|
|
|
|
|
||
2.6.1.а Примеры.
Решение.
Сначала найдем точки пересечения данных кривых, для чего решим систему уравнений 
. Исключая y, получим квадратное уравнение 
, из которого получим абсциссы точек пересечения данных парабол x = 1 и x = 3. Тогда по формуле (1) п.2.6.1.а искомая площадь равна 
.
проведена касательная в точке А(2,3). Найти площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугой эллипса, касательной и осью ОХ. Решение.
Составим сначала уравнение касательной. Для этого вычислим производную 
в точке А(2,3) от функции, заданной неявно уравнением : 
. Тогда уравнение касательной будет иметь вид 
Очевидно, что данную фигуру необходимо разбить на две части, площади которых можно вычислить по формуле (1) п.2.6.1.а ,
но, если линии, ограничивающие данный криволинейный треугольник, рассматривать как графики функций, зависящих от аргумента y, то есть считать, что наш криволинейный треугольник ограничен дугой эллипса 
снизу, отрезком касательной x = -2y + 8 сверху и отрезком оси ОХ справа, то площадь нашей фигуры можно вычислить как интеграл по переменной y:
. Будем считать этот интеграл, как разность двух интегралов. 
. Второй интеграл возьмем с помощью подстановки 
, где 
. 
В результате получим
S = 15 - 3 
.
и осью ОХ. Решение.
Так как кривая задана на всей вещественной оси, для вычисления площади мы получим несобственный интеграл:
.