|
|
|
|
|
|
||
2.6.2.b. Решения
1. Воспользуемся формулой для вычисления длины дуги плоской кривой, заданной в декартовой системе координат. Получим
, 
.
Тогда 
.
2. Воспользуемся формулой для вычисления длины дуги плоской кривой в декартовой системе координат. Получим 
, 
.
Тогда 
3. Воспользуемся формулой для вычисления длины дуги плоской кривой в декартовой системе координат. Получим, 
, 
.
Тогда 
= 
I
В каждом из интегралов сделаем замену переменной по формуле 
. Тогда 
. Учитывая, что при x = ln9 t = 2 и при x = ln64 t = 3, получим I
.
4. Будем считать, что уравнение кривой задает функцию x от аргумента y, где y меняется от 1 до 4(так как при y=1 будет иметь место равенство 
и, аналогично, при y=4 
). Тогда 
и длина дуги кривой 
5. Положим 
, тогда 
, то есть 
. Так как кривая лежит в первой четверти, то параметр t меняется от 0 до 
. Тогда 
.
Для вычисления последнего интеграла преобразуем выражение под радикалом: 
и сделаем замену переменной 
.Тогда 
.
Последний интеграл вычислим по частям: 
=
. Откуда
6. Данная кривая представляет собой окружность, лежащую в плоскости z = 2, параллельной плоскости ОХУ. Поэтому введем параметр, положив 
, z =2, где t меняется от 0 до 
. Теперь воспользуемся формулой для вычисления длины дуги пространственной кривой, заданной параметрически: 
7. Решая систему данных уравнений, получим z =4. Это означает, что данная кривая представляет из себя окружность, лежащую в плоскости z =4. Поэтому введем параметр, положив , z =4, где t меняется от 0 до . Теперь воспользуемся формулой для вычисления длины дуги пространственной кривой, заданной параметрически:
8. Возьмем х в качестве параметра. Тогда параметрические уравнения кривой будут иметь вид:
, причем когда 
будет иметь место 
. Тогда 