|
|
|
|
|
|
||
2.6.1.с. Вычисление площади сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат.
Воспользуемся формулой для нахождения площади в полярной системе координат . Так как фигура симметрична относительно оси ОХ, будем брать интеграл только по половине промежутка:
Используя симметрию фигуры относительно оси ОУ, будем искать половину площади. Сначала, рассматривая уравнения заданных кривых как систему двух уравнений, найдем значение 
, при котором кривые пересекаются: 
. (Значение корня взято со знаком +, так как угол лежит в первой четверти.)
Требуемую площадь найдем как разность S1 -площади треугольника, ограниченного лучем 
, прямой 
и осью ОУ и S2 -площади сектора, ограниченного лучем и кривой 
.
=
Таким образом, искомая площадь будет равна 2(S1 - S2 ).
Элементарными преобразованиями ответ может быть приведен к виду 
Перейдем к полярной системе координат: 
. Тогда уравнения данных кривых будут иметь вид 
и 
. Решая систему этих уравнений относительно 
, получим значения переменной в точках пересечения этих кривых: 
и 
. Искомая площадь будет 
Перейдем к полярной системе координат: . Уравнение данной кривой будет 
. Так как кривая симметрична относительно как оси ОХ, так и оси ОУ, то, используя формулу для вычисления площади в полярной системе координат , найдем сначала четверть искомой площади: 
Перейдем к полярным координатам по формулам . Тогда уравнение данной кривой будет 
. Так как фигура симметрична как относительно оси ОХ, так и оси ОУ, то можно брать интеграл только по четверти промежутка и искомая площадь будет 
Преобразуем подынтегральную функцию и сделаем подстановку 
=
Теперь сделаем замену переменной 
:
