Предыдущий уровень изложения текущего раздела   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Следующий уровень изложения текущего раздела   Уровень:


Замена переменной в определенном интеграле

2.3.2 Примеры.



  1. Вычислить интеграл .

    2. Решение.

    Сделаем замену переменной по формуле t = ex. При x = 0 t = e0=1 и при x = ln3 t = eln3 = 3. Учитывая также, что dx = dt/t, получим

  2. Вычислить интеграл .

Решение.

Используем сначала свойство 9:

= =

Теперь сделаем подстановку , при этом и t = 0, если x=0 и t=π/2, если x=1.

= .

Полезно заметить, что этот ответ можно было получить, не вычисляя интеграла. Дело в том, что графиком подынтегральной функции является верхняя половина окружности при . Значит, интеграл равен половине площади круга , которая может быть вычислена по формуле , что и дает полученный ответ при R = 1.