|
|
|
|
2.6.1.с. Вычисление площади сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат.
Воспользуемся формулой для нахождения площади в полярной системе координат . Так как фигура симметрична относительно оси ОХ, будем брать интеграл только по половине промежутка:
Используя симметрию фигуры относительно оси ОУ, будем искать половину площади. Сначала, рассматривая уравнения заданных кривых как систему двух уравнений, найдем значение , при котором кривые пересекаются: . (Значение корня взято со знаком +, так как угол лежит в первой четверти.)
Требуемую площадь найдем как разность S1 -площади треугольника, ограниченного лучем , прямой и осью ОУ и S2 -площади сектора, ограниченного лучем и кривой .
=
Таким образом, искомая площадь будет равна 2(S1 - S2 ).
Элементарными преобразованиями ответ может быть приведен к виду
Перейдем к полярной системе координат: . Тогда уравнения данных кривых будут иметь вид и . Решая систему этих уравнений относительно , получим значения переменной в точках пересечения этих кривых: и . Искомая площадь будет
Перейдем к полярной системе координат: . Уравнение данной кривой будет . Так как кривая симметрична относительно как оси ОХ, так и оси ОУ, то, используя формулу для вычисления площади в полярной системе координат , найдем сначала четверть искомой площади:
Перейдем к полярным координатам по формулам . Тогда уравнение данной кривой будет . Так как фигура симметрична как относительно оси ОХ, так и оси ОУ, то можно брать интеграл только по четверти промежутка и искомая площадь будет
Преобразуем подынтегральную функцию и сделаем подстановку
=
Теперь сделаем замену переменной :