|
|
|
|
|
|
||
8.2. криволинейные интегралы второго типа
Пусть дана дуга пространственной кусочно-гладкой кривой L, ограниченная точками А и В (см. рис. 4.1), и определенные на ней непрерывные функции 
Дугу АВ разобьем точками 
, 
,Е
на 
элементарных дуг 
. На каждой дуге выберем произвольную точку 
, и значения функций в этой точке
умножим не на длину дуги (как это было в случае криволинейного интеграла первого типа), а на проекции этой дуги соответственно на оси Ох, Оу, Ог, которые обозначим через 
причем 
, 
, 
. Из полученных произведений составим сумму
(4.9)
называемую интегральной, суммой по координатам для функций
Криволинейным интегралом второго типа, взятым по кривой L или по пути АВ , называется предел интегральной суммы (4.9) при 
(4.10)
На кривой L, целиком лежащей в плоскости Оху, функции Р, Q, R не зависят от z, 
поэтому
(4.11)
Если функции Р, Q, R рассматривать как проекции некоторой переменной силы F на координатные оси, то криволинейный интеграл второго типа выражает работу силы 
точка приложения которой описывает кривую L.
Криволинейный интеграл второго типа зависит от выбора направления обхода кривой; если изменить направление обхода, то интеграл меняет знак:
(4.12)
Вычисление криволинейного интеграла второго типа также сводится к вычислению определенного интеграла.
Если линия L задана параметрическими уравнениями
и значению 
соответствует точка А , а значению 
- точка В, то
(4.13)
В частности, для кривой L, лежащей в плоскости Оху,
(4.14)
Если плоская кривая L задана уравнением 
то
(4.15)
Приведенные теоретические положения используются при рассмотрении примеров (см. также задачи для самостоятельного решения )