2.2. Неоднородное уравнение теплопроводности
Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности:
  |
(1) |
с начальным условием
 |
(2) |
и граничным условием
 . |
(3) |
Будем искать решение этой задачи 
в
виде ряда Фурье по собственным функциям, соответствующей однородной краевой
задачи:
 |
(4) |
надо определить функции 
.Представим функцию f(x,t) в виде ряда
 |
(5) |
 |
(6) |
Если ряд Фурье равен нулю, то все коэффициенты разложения равны нулю, то есть
 |
(7) |
получаем начальное условие для
: |
(8) |
Решая обыкновенное дифференциальное уравнение (7) с нулевым начальным условием (8), находим:
 |
(9) |
Подставляя выражение (9) для
в
формулу (4), получим решение исходной задачи в виде
 |
(10) |
Воспользуемся выражением (6) для 
и
преобразуем найденное решение (10):
где
 |
-функция точечного источника (функция Грина). |