1.3 Временная когерентность излучения лазера

Ширина линии излучения одномодового лазера, работающего выше порога. Неизбежные в лазерах нестабильности параметров представляют собой по существу случайные процессы. Спектры этих процессов отличны от нуля лишь в узкой области вблизи нулевой частоты; эффективная ширина спектра флуктуаций параметров не превышает обычно 102 – 103 Гц. Воздействие флуктуаций параметров на оптический генератор проявляется, поэтому обычно в виде медленной, квазистатистической случайной модуляции амплитуды и частоты (фазы).

Колебания реального генератора, близкие к гармоническим, представляют собой случайный процесс вида

.

Статистические характеристики r(t) и j(t) в рассматриваемом случае, разумеется, существенно отличаются от таковых для узкополосного гауссовского шума. Амплитуда флуктуирует вблизи среднего значения , определяемого динамическими свойствами системы; флуктуации амплитуды и фазы в общем случае коррелированы.

По известным статистическим характеристикам r(t) и j(t) можно определить и форму спектральной линии. Если относительные флуктуации амплитуды невелики, форма и ширина спектральной линии в основном определяются  квазистатическими флуктуациями частоты. Хорошим приближением в этом случае оказывается модель медленных и сильных гауссовских флуктуаций частоты. Тогда спектр автоколебаний имеет вид

,

где  - дисперсия частоты, .

Ширину спектральной линии

DwТ = sw

называют технической шириной, подчеркивая этим, что причиной уширения линии в рассматриваемом случае оказываются факторы технического порядка, вклад которых зависит от конструкции лазера, стабилизации параметров и т. п. Величина DwТ различна для различных типов лазеров. Переход к высокостабильным системам, например таким, как лазеры, стабилизированные по сверхузким оптическим резонансам в атомах и молекулах, позволяет получить ширину спектральной линии ~ 0,5 Гц.

Чем определяются предельные возможности сужения линии? Оказывается, что наряду с “техническими” флуктуациями имеются обстоятельства и более принципиального характера. Даже в гипотетической автоколебательной системе, каковой  можно считать и лазер, с абсолютно стабильными параметрами генерирование идеальных монохроматических колебаний невозможно. Причиной этого является принципиально неустранимые собственные шумы генератора, таковыми для лазера являются спонтанные переходы. Этот источник флуктуаций в лазере следует рассматривать, очевидно, как случайную внешнюю силу, в спектре которой имеются и компоненты на частоте автоколебаний. Как ведет себя автоколебательная система, находящаяся под воздействием случайной силы? Оказывается, что и в этом случае дело сводится к случайным амплитудной и фазовой модуляциям. Автоколебания описываются случайным процессом вида . Статистические же характеристики возникающих под действием собственных шумов естественных флуктуаций амплитуды и фазы, разумеется, отличаются от технических; по иному выглядит и спектр колебаний.

Для естественных флуктуаций частоты форма спектральной линии становится лоренцевской.

Естественная ширина спектральной линии Dwe обычно много уже технической, Dwe << DwТ, однако для высокостабильных генераторов оптического диапазона, эффекты обусловленные естественными флуктуациями, становятся существенными.

В оптическом резонаторе происходят процессы связанные как с увеличением энергии, так и с потерями. Поэтому величина добротности может быть определена следующим образом

 .

Пусть  - скорость, с которой когерентная энергия вкладывается в моду, а - скорость потерь энергии когерентного излучения при прохождении через зеркала. Тогда

В стационарных условиях полная скорость поступления энергии в моду складывается из когерентного (вынужденного) излучения и спонтанного

 

и приведенное выше соотношение превращается в

Чтобы вычислить , заметим, что отношение скоростей для вынужденного и спонтанного излучения в данной моде равно числу фотонов, присутствующих в ней. Это число можно связать с интенсивностью I поля в моде внутри резонатора, или с выходной мощностью :    , где a - площадь поперечного сечения моды, d - длина резонатора, а    aотр - коэффициент, учитывающий потери на зеркалах. Скорость вынужденного испускания в моде равна

,

так, что   получается делением

.

Энергия, запасенная в моде, есть  и, следовательно, добротность для моды равна

,

где dn - ширина линии на выходе лазера.

На пороге генерации получим

.

И с учетом величины добротности, запасенной в моде, а также с учетом выражения для , находим

.

В обычных условиях, когда Nm >> Nn, последнее выражение упрощается.

Теоретическая ширина линии

.

По мере возрастания мощности излучения, выходящего из резонатора линия генерации в моде становится все уже.

Применив данное выражение для He-Ne лазера с выходной мощностью 1 mВт, получим Dn ~ 5 10-4 Гц, если пропускание зеркал составляет 1% на длине волны  0,6328 мкм, а длина резонатора 1 м. Для полупроводникового лазера на Pb0,88Sn0,12T, излучающего на длине волны 10,6 мкм, при мощности излучения и Dnр » 108 Гц ширина линии Dwе »10 кГц. Обеспечение на практике таких режимов не представляется возможным, что следует из произведения DnDt = 1 (Dt - время установления устойчивого режима).

На практике ширина линии составляет в лучшем случае несколько герц, так как преобладают другие факторы, вызывающие значительное возрастание спектральной ширины. В газовых лазерах практически достижимая предельная ширина определяется, по-видимому, тепловыми флуктуациями материала, из которого сделаны держатели зеркал лазера, а также неоднородностью показателя преломления усиливающей среды. В противоположность этому в твердотельных лазерах с модулированной добротностью ширина линии определяется длительностью импульса лазера (через соотношение неопределенностей).

Время спонтанного излучения, или время релаксации, типичного атомного уровня по порядку величины равно 10-8 с, а соответствующая спектральная ширина порядка 108 Гц. В лазерах возбужденные атомы вынужденно излучают в фазе, так, что в рубиновых лазерах длительность эффективных волновых цугов оказывается порядка 10-6 с, а в газовых лазерах – порядка 10-3 с. Соответствующая спектральная ширина равна  106 и 103 Гц.

Длительность волнового цуга Dt и эффективная спектральная ширина Dn при гауссовой форме линии связаны соотношением

4pDtDn ~1.

Понятие времени когерентности связано с тем, что при интервалах времени, меньших Dt, источник является монохроматическим, и с тем, что в точке пространства существует линейная зависимость или корреляция амплитуд и фаз волнового цуга, соответствующих двум разным моментам времени. При интервалах времени, больших Dt, мы имеем два различных волновых цуга и корреляция отсутствует. Время Dt называется временем когерентности.

Положим . Отсюда получим . Длина  называется длиной когерентности.