|
|
|
|
|
|
||
ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ТИПА.
Пусть дана функция f(x, у, z), непрерывная на некоторой гладкой поверхности (
). Разобьем
поверхность ( ) сетью произвольно проведенных кривых (рис. 4.9 ) на ряд частей (
), (
), : (
).
В каждой из этих частей (
) выберем произвольно точку , вычислим значение данной функции в
этой точке и, умножим его на площадь соответствующей части поверхности, составим сумму всех
таких произведений
, (4.16)
называемую интегральной суммой.Обозначим через 
диаметр элементарной части поверхности ( 
), т. е. расстояние между ее наиболее удаленными точками; 
- наибольшийиз указанных диаметров.
Поверхностным интегралом первого типа от функции f(x,y,z,) по поверхности ( ) называется предел интегральной суммы (4.16) при 
:
(4.17)
Поверхностный интеграл первого типа обладает свойствами, аналогичными свойствам криволинейных интегралов первого типа.
Если f(x,y,z,) >0 и функцию f рассматривать как поверхностную плотность массы материальной поверхности ( ), то интеграл (4.17) определяет массу этой поверхности.
Предположим, что поверхность ( ) однозначно проектируется какую-либо координатную плоскость, например на плоскостьOxy, и область (S) является ее проекцией. Тогда элемент поверхности
где 
- угол между нормалью 
к поверхности в точке M(z,y,z) и осью Oz.
Если поверхность задана уравнением z = z(x,y), то
(4.18)
и интеграл (4.17) вычисляется по формуле
(4.19)
Если ( ) - кусочно-гладкая двусторонняя поверхность
,
а функция f(x, у, z) определена и непрерывна в точках поверхности ( ), то
где
(4.21)
Формула (4.19) является частным случаем формулы (4.20) при z =z(x,y)
Приведенные теоретические положения используются при рассмотрении примеров (см. также задачи для самостоятельного решения )