|
|
|
|
1.4 Примеры
Решение.
Используя универсальную тригонометрическую подстановку, имеем . Из равенства получим , откуда . Подставим эти выражения в данный интеграл:
Последний переход сделан по формуле ?7.14 .
Решение.
Очевидно, подынтегральная функция удовлетворяет условию(1) , поэтому используем подстановку . При этом . Тогда = =
Решение.
Сначала преобразуем интеграл к более удобному виду: .
Теперь сделаем замену переменной . Тогда и
Решение.
Внесем под знак дифференциала: . Тогда
=
Решение.
Воспользуемся формулой понижения степени ?7.7 :
Решение.
Сначала, с помощью формулы ?7.5 преобразуем подынтегральную функцию:
Теперь сделаем замену переменной . При этом и . Возвращаясь к нашему интегралу, получим
Решение.
В числителе подынтегральной функции стоит единица, которую запишем как . Тогда
При вычислениями мы воспользовались формулами 1 и 8 .
Решение.
= .
Решение.
= .
Пример10. Найти интеграл .
Решение.
Вычислим этот интеграл с помощью универсальной тригонометрической подстановки . Тогда, и , следовательно, = .
Пример11. Найти интеграл .
Решение.
Вычислим этот интеграл с помощью универсальной тригонометрической подстановки . Тогда, , и , следовательно,
= .
Пример 12. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция ? это рациональная функция, удовлетворяющая условию . Используя подстановку , получаем .
Пример 13. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция ? это рациональная функция от и , удовлетворяющая условию . Поэтому, применяем подстановку .СМ * Сначала преобразуем подынтегральную функцию следующим образом .Тогда, и = .
Пример 14. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид где m и n - целые числа и n = 5, то есть нечетное положительное число см п4. Внесем под знак дифференциала, а выразим через . Получим
.
Пример 15. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид , где m = 3, то есть нечетное положительное число. Сделаем замену переменной .Тогда и = = .
Пример 16. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид , где m = 2, n = 2. Используя формулы понижения степени ?7.5 и ?7.7 , получим .
Таким образом = .
Пример 17. Найти интеграл .
Решение
. Подынтегральная функция имеет вид , где m = 0, n = 6. Используя формулу понижения степени ?7.8 , получим = .
Пример 18. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид , где m = 0, n = - 4. Используя подстановку , получим и . Следовательно, .
Пример 19. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид . Делая подстановку и используя формулы и , получим .
Пример 20. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид , где m = 6. Используя формулу и заметим, что . Тогда
.
Пример 21. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид , где , Используем формулу и заметим, что . Тогда
Пример 22. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид Воспользуемся формулой ?7.11 :
Пример 23. Найти интеграл .
Решение.
Применим к произведению формулу ?7.9 Используя ту же формулу, получим: