![]() ![]() ![]() ![]() |
|
|
![]() |
1.4 Примеры
Решение.
Используя универсальную тригонометрическую подстановку, имеем . Из равенства
получим
, откуда
. Подставим эти выражения в данный интеграл:
Последний переход сделан по формуле ?7.14 .
Решение.
Очевидно, подынтегральная функция удовлетворяет условию(1) , поэтому используем подстановку . При этом
. Тогда
=
=
Решение.
Сначала преобразуем интеграл к более удобному виду: .
Теперь сделаем замену переменной . Тогда
и
Решение.
Внесем под знак дифференциала:
. Тогда
=
Решение.
Воспользуемся формулой понижения степени ?7.7 :
Решение.
Сначала, с помощью формулы ?7.5 преобразуем подынтегральную функцию:
Теперь сделаем замену переменной . При этом
и
. Возвращаясь к нашему интегралу, получим
Решение.
В числителе подынтегральной функции стоит единица, которую запишем как . Тогда
При вычислениями мы воспользовались формулами 1 и 8 .
Решение.
=
.
Решение.
=
.
Пример10. Найти интеграл .
Решение.
Вычислим этот интеграл с помощью универсальной тригонометрической подстановки . Тогда,
и
, следовательно,
=
.
Пример11. Найти интеграл .
Решение.
Вычислим этот интеграл с помощью универсальной тригонометрической подстановки . Тогда,
,
и
, следовательно,
=
.
Пример 12. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция ? это рациональная функция, удовлетворяющая условию . Используя подстановку
, получаем
.
Пример 13. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция ? это рациональная функция от и
, удовлетворяющая условию
. Поэтому, применяем подстановку
.СМ * Сначала преобразуем подынтегральную функцию следующим образом
.Тогда,
и
=
.
Пример 14. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид где m и n - целые числа и n = 5, то есть нечетное положительное число см п4. Внесем
под знак дифференциала, а
выразим через
. Получим
.
Пример 15. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид , где m = 3, то есть нечетное положительное число. Сделаем замену переменной
.Тогда
и
=
=
.
Пример 16. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид , где m = 2, n = 2. Используя формулы понижения степени ?7.5 и ?7.7 , получим
.
Таким образом =
.
Пример 17. Найти интеграл .
Решение
. Подынтегральная функция имеет вид , где m = 0, n = 6. Используя формулу понижения степени ?7.8 , получим
=
.
Пример 18. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид , где m = 0, n = - 4. Используя подстановку
, получим
и
. Следовательно,
.
Пример 19. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид . Делая подстановку
и используя формулы
и
, получим
.
Пример 20. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид , где m = 6. Используя формулу
и заметим, что
. Тогда
.
Пример 21. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид , где
,
Используем формулу
и заметим, что
. Тогда
Пример 22. Найти интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид Воспользуемся формулой ?7.11 :
Пример 23. Найти интеграл .
Решение.
Применим к произведению формулу ?7.9
Используя ту же формулу, получим: