|
|
|
|
|
|
||
1.4 Примеры
Решение.
Используя универсальную тригонометрическую подстановку, имеем 
. Из равенства 
получим 
, откуда 
. Подставим эти выражения в данный интеграл: 
Последний переход сделан по формуле ?7.14 .
Решение.
Очевидно, подынтегральная функция удовлетворяет условию(1) , поэтому используем подстановку 
. При этом 
. Тогда 
=
=
Решение.
Сначала преобразуем интеграл к более удобному виду: 
.
Теперь сделаем замену переменной 
. Тогда 
и 
Решение.
Внесем 
под знак дифференциала: 
. Тогда
=
Решение.
Воспользуемся формулой понижения степени ?7.7 :
Решение.
Сначала, с помощью формулы ?7.5 преобразуем подынтегральную функцию: 
Теперь сделаем замену переменной 
. При этом 
и 
. Возвращаясь к нашему интегралу, получим 
Решение.
В числителе подынтегральной функции стоит единица, которую запишем как 
. Тогда 
При вычислениями мы воспользовались формулами 1 и 8 .
Решение.
=
.
Решение.
=
.
Пример10. Найти интеграл 
.
Решение.
Вычислим этот интеграл с помощью универсальной тригонометрической подстановки 
. Тогда, 
и 
, следовательно, =
.
Пример11. Найти интеграл 
.
Решение.
Вычислим этот интеграл с помощью универсальной тригонометрической подстановки . Тогда, , 
и , следовательно,
=
.
Пример 12. Найти интеграл 
.
Решение.
Подынтегральная функция ? это рациональная функция, удовлетворяющая условию 
. Используя подстановку 
, получаем
.
Пример 13. Найти интеграл 
.
Решение.
Подынтегральная функция ? это рациональная функция от 
и 
, удовлетворяющая условию 
. Поэтому, применяем подстановку .СМ * Сначала преобразуем подынтегральную функцию следующим образом 
.Тогда, 
и =
.
Пример 14. Найти интеграл 
.
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид 
где m и n - целые числа и n = 5, то есть нечетное положительное число см п4. Внесем 
под знак дифференциала, а 
выразим через 
. Получим
.
Пример 15. Найти интеграл 
.
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид 
, где m = 3, то есть нечетное положительное число. Сделаем замену переменной 
.Тогда 
и =
=
.
Пример 16. Найти интеграл 
.
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид , где m = 2, n = 2. Используя формулы понижения степени ?7.5 и ?7.7 , получим 
.
Таким образом =
.
Пример 17. Найти интеграл 
.
Решение
. Подынтегральная функция имеет вид , где m = 0, n = 6. Используя формулу понижения степени ?7.8 , получим =
.
Пример 18. Найти интеграл 
.
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид , где m = 0, n = - 4. Используя подстановку , получим и 
. Следовательно, 
.
Пример 19. Найти интеграл 
.
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид . Делая подстановку 
и используя формулы 
и 
, получим 
.
Пример 20. Найти интеграл 
.
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид 
, где m = 6. Используя формулу 
и заметим, что 
. Тогда
.
Пример 21. Найти интеграл 
.
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид 
, где 
, 
Используем формулу 
и заметим, что 
. Тогда 
Пример 22. Найти интеграл 
.
Решение.
Подынтегральная функция имеет вид 
Воспользуемся формулой ?7.11 : 
Пример 23. Найти интеграл 
.
Решение.
Применим к произведению 
формулу ?7.9 
Используя ту же формулу, получим: 
.
.
.
.
.
.