	Уровень: Глоссарии:

Способ наименьших квадратов

При определении коэффициентов условных уравнений общего вида нашей задачей является нахождение некоторой функции y=f(x), значения которой при x = x₁, x₂ ,... ,x_n возможно меньше отличались бы от опытных значений y₁ ,y₂ ,... ,y_n. Геометрический смысл задачи заключается в проведении плавной кривой y=f(x) проходящей наиболее близко к опытным точкам. Если, например, в качестве функции f(x) взят полином порядка m

f(x) = a + bx + cx² + ... + lx^m , (1.70)

то способ наименьших квадратов позволяет найти такие значения параметров a,b,c,...,l , при которых сумма квадратов расчетных отклонений f( x₁ ), f( x₂),...,f( x_n )от опытных y₁ ,y₂ ,... ,y_n была бы наименьшей, т.е. чтобы выбранные параметры полинома давали наименьшуювеличину

S =

[y_i - f( x_i )]² (1.71),

где [y_i - f( x_i )] отклонение по ординате опытной точки от соответствующей точки искомой кривой. С учетом выражения (1.71) формулу для S можно записать так:

(1.72)

Для выполнения этого условия достаточно приравнять нулю частные производные по параметрам a,b,c,...,l т.е.

(1.73)

Система m+1 уравнений (1.73) позволяет найти значения всех неизвестных параметров, которые вычисляют следующем образом:

1. По опытным данным составляют условные уравнения :

a + bx₁ + cx₁² + ... + lx₁² = y₁ a + bx₂ + cx₂² + ... + lx₂² = y₂ ............ a + bx_n + cx_n² + ... + lx_n² = y_n (1.74)

где значения величин x и y берут изопытных данных, причем число уравнений n больше числа неизвестных.

2.Составляют нормальное уравнение, для чего:

a) умножают каждое условное уравнениена коэффициент при a (он равен 1), складывают их и находят первое нормальное уравнение

(1.75)

б) умножают каждое условное уравнение на коэффициент при b и находят второе нормальноеуравнение:

a + bx₁² + cx₁³ + ... + lx₁^m+1 = x₁ y₁ a + bx₂² + cx₂³ + ... + lx₂^m+1 = x₂ y₂ ............ a + bx_n² + cx_n³ + ... + lx_n^m+1 = x_n y_n

(1.76)

в) умножают каждое условное уравнение на коэффициент при "c" и находят второе нормальное уравнение:

(1.77)

Затем умножают каждое условное уравнение на коэффициент при других исходных параметрах и находят нормальные уравнения. Всего уравнений будет столько, сколько исходных параметров.

3. Решают нормальные уравнения, находят искомые параметры a,b,c,...,l и получают эмпирическую формулу:

y₁⁰ = f( x₁ ) = a + bx + cx² + ... + lx_i^m (1.78)

4. Понайденной формуле определяют значение y₁⁰.

5. Находят невязку E_i как разность между значениями, полученными из опыта и найденными по формуле (1.78), т.е.

E_i = y₀ + y₁⁰. (1.79)

6. Наосновеневязки E_i уточняют значения искомых параметров, которые принимают равными A,B,C,...,L где

A = a +

; B = b +

; C = c +

;...; L = l +

7. Искомые поправки

, ... ,

находят путем составления новых условных уравнений того же вида, что и ранее

+ x₁

+ x₁²

+ ... + x₁^m

= E₁

+ x₂

+ x₂²

+ ... + x₂^m

= E₂ ...............

+ x_i

+ x_i²

+ ... + x_i^m

= E_i (1.80)

8. Составляютнормальные уравнения умножением каждого условного уравнения на множитель при

затем

и т.д. Эти уравнения складывают и получают систему новых нормальных уравнений.

9. Изподученной системы нормальных уравнений определяют искомые поправки

, ...

10. По найденным поправкам

, ... и параметрам находят искомые параметры a,b,c,...,l эмпирической формулы, которая теперь будет иметь следующий вид:

f( x₁ ) = A + Bx₁ + Cx₁² + ... + Lx_i^m (1.81)

Удовлетворенность полученной формулыпроверяют путем определения средней квадратичной погрешности отклонения опытных данных значений величины Y_i от результатов вычислений по эмпирической формуле (1.78). При этом должно соблюдаться неравенство.

(1.82),

где n- число условных уравнений,равноечислу значений x и Y по результатам опыта; k - число определяемых параметров;

_y - возможная погрешность измерений величины Y при проведении опыта в долях

_y .