|
|
|
|
|
|
||
2.5.3. Примеры.
1. Установить сходимость или расходимость интеграла:
. Решение.
Очевидно, справедливо неравенство: 
. Так как интеграл от большей функции сходится (см. пример 3 ), то сходится интеграл от меньшей признак 2 , то есть данный интеграл сходится абсолютно, и, значит, он сходится признак 1 .
. Решение.
При 
имеет место очевидное соотношение 
, а интеграл от второй функции расходится 
, поэтому данный интеграл тоже расходится признак 3 .
3. Установить сходимость или расходимость интеграла: 
.
Решение.
Нетрудно убедиться в том, что единственная особая точка подынтегральной функции на промежутке интегрирования x = 0. Вспомним, что 
при 
, тогда как знаменатель 
. Значит при подынтегральная функция 
и данный интеграл сходится признак 3 и пример 4.
4. Установить сходимость или расходимость интеграла: 
.
Решение.
Особая точка подынтегральной функции x = 0. Выделим ее главную часть при : 
. Так как интеграл от последней функции расходится (см. пример 4 ), то данный интеграл тоже расходится.
5. При каких значениях параметра 
интеграл 
сходится.
Решение.
Особая точка подинтегральной функции x = 0. Как известно, 
при . Что касается числителя, то преобразуем его следующим образом: 
.
Отсюда, дробь, стоящая под интегралом 
и, следовательно, интеграл сходится признак 3 , при условии ? 3 < 1, то есть < 4 и расходится, если 
. (см. пример 4 )