Уровень: Аннотация Основной текст Глоссарии: ... Глоссарий Литература Глоссарий

Математическая база параметров стандартизации

Многообразие типов, параметров и размеров изделий регламентируется параметрическими стандартами. Тем самым предотвращается возможность производства неоправданно большой номенклатуры изделий в той или иной отрасли промышленности, создаются благоприятные условия для широкой унификации деталей и узлов, для развития предметной и подетальной специализации и для облегчения эксплуатации и ремонта изделий, в частности, проще решается проблема запасных частей. Согласование параметров и размеров методом параметрической стандартизации позволяет увязать между собой различные отрасли промышленности, проще решается проблема запасных частей. Согласование большой экономический эффект в масштабе всего народного хозяйства страны.

Сущность параметрической стандартизации состоит в том, что параметры и размеры серийно выпускаемых изделий устанавливаются не произвольно, а в соответствии с рядами предпочтительных чисел , т.е. таких чисел, которым предписывается отдавать предпочтение по сравнению со всеми другими. Примеры использования предпочтительных чисел встречаются повсюду: размеры одежды и обуви, длина гвоздей, диаметры болтов и внутренних отверстий гаек, номинальные значения массы гирь, мощности электрических машин и т.д. Результатом использования именно предпочтительных чисел как раз и является такое согласование параметров и размеров, в том числе и в межотраслевом отношении, которое обеспечивает взаимозаменяемость деталей, создание гибких производственных систем, автоматизацию и механизацию производственных процессов, увеличение количества и повышение качества выпускаемой продукции, рост производительности труда и эффективности общественного производства.

Предпочтительным числам свойственны определенные математические закономерности. Так, наипростейшие ряды предпочтительных чисел строятся на основе арифметической прогрессии, т.е. такой последовательности чисел, в которой разность между последующим и предыдущим членами (она называется разностью прогрессии) остается постоянной. Примерами арифметической прогрессии являются последовательности:

1. возрастающая с разностью 1: 1-2-3-4-5-6-7-...;
2. возрастающая с разностью 2: 1-3-5-7-9-11-13-...;
3. убывающая с разностью 0.1: 1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-... .

Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле, где 1 - первый член прогрессии; - разность прогрессии; n - номер взятого члена.

Ряды предпочтительных чисел, основанных на арифметической прогрессии, используются в параметрических стандартах сравнительно редко, однако такие стандарты есть. Это, например, стандарты на диаметры подшипников качения, стандарты на размеры обуви (как по штихмассовой, так и по метрической системе) и др. Достоинством рядов предпочтительных чисел, базирующихся на арифметической прогрессии, является их простота, недостатком - относительная неравномерность. Так, в примере возрастающей арифметической прогрессии с разностью 1 второй член превышает первый на 100 %, десятый больше девятого - на 11 %, а сотый больше девяносто девятого всего на 1 %. В результате большие значения следуют сравнительно чаше друг за другом, их оказывается больше, чем маленьких, что отнюдь не всегда рационально и соответствует потребностям народного хозяйства.

Для преодоления этого недостатка используют отрезки рядов, построенных на основе арифметической прогрессии, с большими номерами, где неравномерность выражена менее, или используется ступенчато - арифметические прогрессии. Такую прогрессию образуют, например, достоинства монет: 1-2-3-5-10-15-20 коп., где разность прогрессии принимает значения 1 и 5. Ступенчатая арифметическая прогрессия у нас в стране была использована для параметрической стандартизации ещё в 1717 г., когда по указу Петра 1 установили калибры ядер: 4,6,8,12,18,24,36. В настоящее время она находит применение в стандартах на диаметры резьб, размеры болтов, винтов, шпилек и других деталей машин.

С древнейших времен для построения рядов предпочтительных чисел использовалась геометрическая прогрессия, т.е. такая последовательность чисел, в которой отношение последующего члена к предыдущему члену (оно называется знаменателем прогрессии) остается постоянным. Примером геометрической прогрессии являются последовательности:

a) возрастающая со знаменателем 1.1: 1-1.1-1.21-1.33-...;

b) убывающая со знаменателем 0.1: 1-0.1-0.01-0.001-... .

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле , где - первый член; q - знаменатель прогрессии; n - номер взятого члена.

Геометрическая прогрессия имеет ряд полезных свойств, используемых в стандартизации.

1. Относительная разность между любыми соседними членами ряда постоянна. Это свойство вытекает из самой природы геометрической прогрессии. Возьмем в качестве примера простейшую прогрессию со знаменателем, равным двум: 1-2-4-8-16-32-64-128-... , здесь любой член прогрессии больше предыдущего на 100 %.

2. Произведение или частное любых членов прогрессии является членом той же прогрессии. Это свойство используется при увязке между собой стандартизируемы параметров в пределах одного ряда предпочтительных чисел. Согласованность параметров является важным критерием качественной разработке стандартов. Геометрические прогрессии позволяют согласовать между собой параметры, связанные не только линейной, но также и квадратичной, кубичной и другими зависимостями.

Ещё в Древней Римской империи диаметры колес в водопроводах были выбранены в соответствии с геометрической прогрессией. В конце ХVII - начале ХVIII вв. в Германии для расчета темперированного музыкального строя была применена геометрическая прогрессия со знаменателем , во Франции в 1805г.

Размеры типографского шрифта были установлены в соответствии с геометрической прогрессией. В конце прошлого века русский ученый академик А. В. Гадолин разработал теорию рационального построения кинематических соотношений в металлообрабатывающих станках, основанную на использовании закономерных рядов чисел, и научно обосновал рациональную теорию выбора чисел оборотов станков по геометрической прогрессии. История создания современных рядов предпочтительных чисел, основанных на геометрической прогрессии, связанна с именем офицера французского инженерного корпуса Шарля Ренара, заложившего в 1877 - 1879 г. научные основы применения элементов и деталей, необходимых для конструирования воздухоплавательных аппаратов (воздушных шаров). Ренар разработал спецификацию на диаметры хлопчатобумажных канатов для аэростатов с таким расчетом, чтобы их могли изготовлять заранее независимо от места использования. Используя преимущества геометрической прогрессии, Ренар взял за основу канат, имеющий массу a в граммах на 1 метр длины, и построил ряд, приняв знаменатель прогрессии, обеспечивающий десятикратное увеличение каждого пятого члена ряда, т.е. , откуда .

Получился следующий ряд: -1.5849-2.2119 -3.9811 -6.3036 -10 , вычисления в котором проведены с точностью до пятой значащей цифры. Значения этого ряда были заменены округленными величинами, практически более удобными. При этом масса определена числом , k- любое целое положительное или отрицательное число, а также нуль. В последнем случае при k=0 получается ряд Ренара R5: 1-1.6-2.5-4-6.3-10, который может быть продлен в обоих направлениях.

Труд Ренара, опубликованный в 1886 г., долгое время не привлекал к себе внимания. Только в 1920 г. в Германии и в 1921 г. во Франции были утверждены первые стандарты, реализующие идею французского инженера. В 1932г. Международная Федерация Национальных ассоциаций по стандартизации (ИСА) организовала ТК ИСА-32 "Предпочтительные числа", работа которой была прервана второй мировой войной. После окончания войны работа возобновилась; был организован ИСО/ТК 10 "Предварительные числа", который принял в 1953 г. Международную рекомендацию по предпочтительным числам ИСО/Р3, ставшею основной для разработки параметрических стандартов во многих странах мира. Кроме ряда R5, в нее вошли ряды R10,R20 и R40 со знаменателями соответственно и , получившие также название рядов Ренара. В 1955 г. была принята рекомендация ИСО/Р17 "Руководство по применению предпочтительных чисел и рядов предпочтительных чисел". У нас в стране с 1 июля 1985 г. действует ГОСТ 8032-84 "Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел", который полностью соответствует СТ СЭВ 3961-83.

Ряды предпочтительных чисел должны удовлетворять следующим требованиям:

1) представлять рациональную систему градаций, отвечающую потребностям производства и эксплуатации;

2) быть бесконечными, как и в сторону малых, так и в сторону больших значений, т.е. допускать неограниченное развитие параметров или размеров в направлении их увеличения или уменьшения;

3) включать все десятикратные значения любого члена и единицу;

4) быть простыми и легко запоминающимися.

Специальные исследования показали, что всем этим требованиям наилучшим образом удовлетворяют геометрические прогрессии с десятикратным увеличением каждого n-го члена. Из условия: получаем , откуда

ГОСТ 8032-84 устанавливает четыре основных ряда предпочтительных чисел и два дополнительных (R80 и R160), применение которого допускается только в отдельных, технически обоснованных случаях. Краткие сведения об этих рядах приведены табл. 1.

Таблица 1

Условное обозначение ряда	Знаменатель прогрессии	Количество членов ряда в десятичном интервале	Относительная разность между смежными членами ряда, %
R5	1.5849=1.6	5	60
R10	1.2589=1.25	10	25
R20	1.12	20	12
R40	1.0593=1.06	40	6
R80	1.0292=1.03	80	3
R160	1.015=1.02	160	1.5

В табл. 2 приведены округленные значения предпочтительных чисел ряда R40 в десятичном интервале от 1 до 10.

Таблица 2

На примере этой таблицы рассмотрим некоторые свойства основных рядов предпочтительных чисел.

1. ГОСТ 8032-84 устанавливает стандартные значения предпочтительных чисел в диапазоне 0<a< на основе фиксированных значений предпочтительных чисел, включенных в десятичный интервал 0<a≤10. Все эти числа, включенные в ряд R40, приведены в табл. 2.

Для перехода от предпочтительных чисел, приведенных в таблице 2, в любой другой десятичный интервал нужно умножать эти числа на , где k- целое положительное (или отрицательное) число, определяющее отдаление десятичного интервала в ту или другую сторону от заданного, принятого за нулевой (k=0).

Так, при k=1 числа переходят в интервал 0<a≤100, при k=-1 - в интервале 0.1<a≤1 и т.п.

Практически умножение предпочтительных чисел на сводится к переносу запятой, входящий в каждое число таблицы 2, на k знаков вправо (при +k) или влево (при -k).

Приведем примеры образования стандартных предпочтительных чисел в разных десятичных интервалах: 5.00* =5000; 1.18* =0.0118; 3.75*10=37.5.

2. Номер ряда предпочтительных чисел (R40,R20,R10,R5) указывает на количество чисел в десятичном интервале. Так, ряд R40 содержит в десятичном интервале 40 чисел.

Число 1.00, имеющееся в табл. 2, не входит в десятичный интервал 0<a≤10. Его можно рассматривать как завершающее число предыдущего десятичного интервала 0.1<a≤1.

3. Таблица включает в себя все основные ряды предпочтительных чисел. В ней трудно найти числа, образующие ряды R5,R10,R20.

Для примера построим ряд R5. Здесь полезно напомнить одно из требований к рядам предпочтительных чисел: они должны включать единицу. С единицы и начнём, включив её в отрезок ряда R5 (в таблице 2 единица имеет 0 номер). Чтобы получить следующее число ряда R5, нужно умножить единицу на знаменатель прогрессии q=1.60. Найдем искомое число под номером 8. Дальнейшее последовательное умножение найденных чисел на q и округление полученных значений (округление во всех рядах R приняты одинаковыми) приведут к ряду R5: 1-1.6-2.5-4.0-6.3-10.0-16.0-...

Таблица построена так, что все числа ряда R5 оказались в нижней её строке (будем называть её восьмой строкой - по номеру числа в первом столбце). Нетрудно видеть, что в десятичном интервале 1<a≤10 ряд R5 содержит пять чисел.

Аналогично находим в таблице числа R10 и R20. Начинаем в обоих случаях с единицы и умножаем числа на соответствующие знаменатели прогрессии.

Ряд R10 имеет вид: 1-1.25-1.60-2.00-2.50-2.00-2.50-3.15-4.00-5.00-6.30-8.00-10.00-12.50- ...

Легко обнаружить, что все эти числа входят в четвёртую и восьмую строки таблицы. Десятичный интервал 1<a≤10 содержит 10 чисел.

Числа ряда R20 входит во все четыре строки таблицы: вторую, четвертую, шестую и восьмую. В десятичном интервале 1<a≤10 ряда R20 будет, как следовало ожидать, двадцать чисел.

4. В табл. 2 есть число 3.15, которое стандартизаторы использовали в своей практике в качестве числа =3.1416. Неточность, вносимая при этом, не превышает 0.03 %, что находится внутри принятого диапазона округления ряда R40.

Использование при расчетах числа "пи" позволяет выражать предпочтительными числами длины окружностей, площади кругов, угловые скорости, скорости резанья, цилиндрические и сферические поверхности и объемы. При этом используется свойство геометрических прогрессий: произведение членов прогрессии является членом той же прогрессии. Так если выразить диаметр окружности D предпочтительным числом, например, ряда R40 и умножит это число на другое предпочтительное число 3.15, то длина окружности l= D будет представлена предпочтительным числом того же ряда.

Число "пи" в стандартизации применяется для согласования параметров и размеров, связанных между собой не только линейными или степенными зависимостями.

5. В табл. 2 все предпочтительные числа ряда R40 имеют номера от 0 до 40.Эти номера облегчают стандартизаторам расчеты взаимосвязанных показателей стандартов, ускоряют вычисление.

Обратим внимание на то, что номера чисел N представляют собой логарифмы предпочтительных чисел, а при основании логарифмов, равным знаменателю прогрессии q:

В самом деле, знаменатель прогрессии ряда R40 равен q=1.06 . Очевидна логарифмическая связь между номерами и соответствующими предпочтительными числами: ; ; ;...; .

В практики вычислений для упрощения расчетов используется известное свойство логарифмов, позволяющее вместо умножения или деления самих предпочтительных чисел складывать или соответственно вычитать номера этих чисел, а при результирующему номеру определять искомое число. Это дает кроме ускорения вычислений возможность оперировать с округленными числами и позволяет определять стандартный результат расчетов, без дополнительных округлений.

Например, если непосредственно перемножать предпочтительные числа 2.24 и 3.55 , то получим 7.952: результат требуется округлить, привести его к стандартному значению 8.00. При использовании номеров предпочтительных чисел ( см. табл. 2) Достаточно выполнить сложение:

.

Под номером 36 значится стандартное число 8.00. При переходе от таблицы в другие десятичные интервалы, т.е. при умножении чисел на , номера чисел последовательно нарастают при +k (от 41 и выше), а при -k по мере удаления от предпочтительного числа 1 номера чисел растут по абсолютному значению, но имеют отрицательные знаки (0, -1, -2, -3, и т.д.).

Если учесть, что при умножении предпочтительного числа табл. 2 на в новом числе оказывается перенесенной на k знаков (вправо - при +k или влево - при -k), то номер нового числа номер определить по формуле: где - номер числа в табл. 2.

Приведенные в табл. 1 ряды не ограничены никакими пределами. Ряды с ограниченными пределами обозначается следующим образом:

R40(15..190) - основной ряд R40, ограничен числом 15 в качестве нижнего предела и члена 190 в качестве верхнего предела;

R20(22.4 .. ) - основной ряд R20 ограничен членом 22.4 в качестве нижнего придела;

R10(..50) - основного ряда R10, ограниченного членом 50 в качестве нижнего придела;

R'20(100..250) - основной ряд R20 с округленными членами и содержащий замену членов, входящих в этот диапазон ряда, величинами первой степени округления.

Запишем в развернутом виде последний ряд чисел: 100-110-125-140-160-180-200-220-250.

Вместо чисел 112 и 224 ряда R20 в приведенный отрезок ряда R'20 вошли числа 110, 220.

Приведем пример обозначения ряда, в который нужно обязательно включить какое либо число:

R5(..40..)- основной ряд R5 с обязательным включением в него члена 40, но не ограниченный верхним и нижним пределами. В стандартизации используются также производные ряды. Они применяются в тех случаях, когда ни одна из градаций основных рядов не удовлетворяет поставленным требованиям. Обычно по производным рядам строят ряды параметров и размеров, являющихся функциями других параметров и размеров, для которых градации приняты по основным рядам.

Обозначение производного ряда после наклонной черты указывается порядковый номер систематически отбираемого из ряда члена:

R40/5 (.. 60)-производный ряд, полученный путём отбора каждого 5 члена основного ряда R40 и ограниченный членом 60 в качестве верхнего придела; R10/3 (.. 80 ..)- производный ряд, образованный отбором каждого третьего члена ряда R10 с обязательным включением члена 80, пределами не ограничен; R20/3 (от 14 до 40) - произвольный ряд, полученный отбором каждого третьего числа ряда R20 и ограниченный сверху и снизу собственно членами 40 и 14. Нетрудно убедится, пользуясь таблицей 2, что последний производный ряд содержит 4 члена: 14-20-28-40.

Частным случаем произвольных рядов являются сдвинутые ряды. Примером такого ряда может служить R10/2 (1.25..)- производный ряд, который начинается членом 1.25 и включает члены ряда R10 , идущие через один. При оборе членов для этого ряда пропущенные из ряда R10 все члены, входящие в ряд R5 . Знаменатель прогрессии ряда R10/2 равен знаменателю ряда R5, т.е. q=1.60. Члены ряда R10/2 сдвинуты по отношению к ряду R5. Это можно проиллюстрировать следующим размещением членов: R5 (1.00.. ) : 1.00 1.60 2.50 4.00; R10/2(1.25..): 1.25 2.00 3.15 5.00 .

Отметим, что в стандартах при необходимости допускается использовать ступенчатые ряды, построенные по разным геометрическим прогрессиям (и числа входящих в ГОСТ 8032-84). Приведем пример ступенчатого ряда: 1.0-1.6-2.5-6.3-8.0-10.0

Этот ступенчатый ряд составлен из двух рядов: R5 (1.0..6.3) со знаменателем прогрессии q=1.6 и R10 (6.3..10.0), имеющим q= 1.25 .

Практическое применение ступенчатых рядов указывает на недостатки геометрических прогрессии. Удобно иметь каждый параметрический ряд, построенный по единой математической закономерности. В этом направлении ведутся научные разработки.

Предпочтительные числа, включённые в ГОСТ 8032-84, как уже отмечалось, являются округлёнными по сравнению с расчётными числами геометрической прогрессии. Однако, как показывает статистика, в отдельных случаях требуется дополнительные округления стандартизованных чисел. Например, при установлении числа зубьев шестерён нельзя использовать число 31.5 (типичным может быть 32). Иногда необходимость в дополнительных округлениях вызывается неготовностью производства к применению предпочтительных чисел. В подобных случаях лучше иметь стандартизованные округлённые числа, чем допускать применение всевозможных непредпочтительных чисел. В дальнейшем это облегчит переход к применению предпочтительных чисел.

В соответствии с ГОСТ 8032-84 допускается в технически обоснованных случаях применять вместо основных рядов R рядов R' и R". В ряду R' отдельные предпочтительные числа заменены величинами первой степени округления, в ряду R" - второй степени округления. При этом указано, что ряды R" применять не рекомендуется. Перечислим все округления предпочтительных чисел, введённые изменением N1 в ГОСТ 8032-56.

Числам 1.6 и 6.3 ряда R5 соответствуют в ряду R"5 числа 1.5 и 6.0

В ряд R'10 входит число 3.2 соответствующее числу 3.15 ряда R10.

Ряд R"10 содержит числа 1.2; 1.5; 3.0; 6.0.

В ряд R'20 входят числа 1.1; 2.2; 3.2; 3.6, а в ряд R"20 - 1.2; 3.0; 3.5; 5.5; 6.0; 7.0.

Отметим, что введение округлений сопровождается существенными отклонениями чисел от расчётных величин. Особенно это касается рядов R"5 и R"10, а по числам 1.2 и 3.0 также для ряда R"20, где отклонение составляет около 5%. Нужно иметь в виду, что отступление в 5% на линейном размере приводит к неточности более 10% - во второй степени (это, например, сечение болта и связанная с ним прочность), более 15% - в третей степени (масса изделия), более 20% -в четвёртой степени (жесткость пружины), более 25% - в пятой степени (момент инерции). Это нужно учитывать при конструировании и по возможности не пользоваться числами рядов R".