3.2 Нормально развитая спекл-структура, условия ее наблюдения, контраст, индивидуальный спекл

Если падающая волна монохроматическая и полностью поляризованная ,суммарное поле в произвольной точке наблюдения можно рассматривать как сумму ряда комплексных факторов, каждый из которых порождается отдельным рассеивателем или отдельной областью непрерывно  рассеивающей  поверхности. Сумма  множества случайно сфазированных комплексных вкладов может рассматриваться как "случайное блуждание в комплексной области" (рис. 34).

Рис. 34 Сумма случайных фазоров

При таком подходе поле можно рассматривать как комплексный аналитический сигнал

U(x,y.z,t) = A(x,y,z)exp(i2pnt),

где n - частота излучения; A(x,y,z) - комплексная амплитуда.

A(x,y,z) = çA(x,y,z)úexp[iq(x,y,z)],

 q(x,y,z) - фаза суммарной волны.

Рассмотрим сумму очень большого числа N комплексных фазоров;  при этом пусть k-й фазор имеет случайную величину  и случайную фазу jk.

Комплексная амплитуда результирующего возмущения может быть представлена таким образом

где ôakôи Yk - амплитуда и фаза вклада от k-той  рассеивающей  области,  N - число таких вкладов.

Чтобы получить нормально развитую спекл-картину, необходимо чтобы выполнялись определенные условия.

Во-первых, случайное "блуждание" должно состоять из большого числа случайных членов.

Во-вторых, эти члены должны быть независимы друг от друга.

В-третьих, фазы,  связанные с каждым комплексным вкладом,  должны быть полностью случайны, т.е. равномерно распределены в главном интервале (- p,p).

Из первых двух предположений, в соответствии с центральной предельной теоремой, реальные и мнимые части комплексной суммы многих независимых  случайных вкладов должны быть гауссовыми случайными переменными при больших значениях N.

Центральная предельная теорема устанавливает характер распределения среднего  в целом при неограниченном росте объема выборки, а также асимптотический вид математического ожидания каждого испытания и дисперсии среднего. Она формулируется следующим образом: Пусть случайные величины имеют один и тот же закон распределения, среднее значение m и дисперсию s2. Если дисперсия s2 конечна, то при увеличении объема выборки n (n®¥) распределения выборочного среднего  будет стремиться к нормальному распределению со средним m и дисперсией s2 ¤ n.

Если третье предположение справедливо, то можно показать, что реальная  и  мнимая части должны иметь равную дисперсию и среднее значение,  приводя к "круговой" гауссовой комплексной статистике.  И,  если статистика  результирующего  поля имеет гауссов характер, то для него справедливо распределение Рэлея для интенсивности

где I-  интенсивность рассеянного излучения,  P(I) - плотность вероятности распределения интенсивности,  < I > - средняя или ожидаемая интенсивность.  Фундаментальное  свойство распределения Рэлея заключается в том,  что стандартное отклонение точно равно среднему.  Таким образом, контраст спекл-картины, определяемый как.

всегда равен единице для поляризованного излучения. Из-за столь высокого контраста спекл-структура очень мешает наблюдателю,  особенно при рассмотрении тонкой структуры изображения.

Распределение средней интенсивности < I > в изображении контрастно освещаемого шероховатого объекта совпадает с интенсивностью, которая наблюдалась бы, если бы объект освещался пространственно когерентным светом с той же самой  спектральной  плотностью мощности.

Таким образом в рамках этой модели для анализа статистических свойств рассеянного поля не обязательно конкретизировать статистику неровностей поверхности.

Для описания  пространственной структуры спекл-картины необходимо определить автокорреляционную функцию интенсивности  и  энергетический спектр. Автокорреляционная функция интенсивности по определению равна

.

С физической точки зрения автокорреляционная функция есть мера структурного подобия двух функций

Благодаря свойствам комплексного гауссова процесса вычисление автокорреляционной функции интенсивности сводится к вычислению  автокорреляционной функции поля:

Для автокорреляционной функции флуктуаций поля в зоне Фраунгофера в соответствии с теоремой Винера-Хинчина может быть записано выражение

где распределение интенсивности рассеянного излучения S(x,h) предполагается пропорциональным распределению интенсивности падающего  излучения по рассеивающей области ïE(x,h)ï, т.е.

*Теорема Винера-Хинчина: Взаимный энергетический спектр двух случайных процессов равен фурье-образу функции крос-корреляции этих процессов.

При выводе выражения, связывающего автокорреляционную функцию и спектральную плотность поля был использован дельта-коррелированный подход, т.е. предполагалось, что микроструктура рассеивающей  поверхности  настолько тонкая по сравнению с размерами освещающего пучка, что автокорреляционная функция рассеянного поля в непосредственной близости от поверхности  может быть аппроксимирована двумерной  дельта-функцией Дирака:

Это соответствует  условиям формирования нормально развитой спекл -картины,  которые требуют наличия достаточно большого числа рассеивателей в рассеивающей области.

Таким образом получаем, что автокорреляционная функция флуктуаций интенсивности в зоне Фраунгофера в случае нормально развитой спекл -картины имеет вид

Спектр Винера флуктуаций интенсивности в  плоскости  Фраунгофера, описывает распределение пространственных частот и характеризует распределение интерференционных пятен по размерам. Он представляет из себя Фурье-преобразование автокорреляционной функции интенсивности поля:

т.е. спектр Винера флуктуаций интенсивности рассеянного излучения оказывается равен автокорреляционной функции  распределения  интенсивности по рассеивающей апертуре.

Необходимо также отметить, что

При наличии  изображающей  системы  автокорреляционную функцию и спектр Винера в плоскости изображения можно получить  если  оптическую систему описать линейным фильтром с передаточной функцией K(u,v).  Передаточная функция связана с функцией зрачка

где D2 - расстояние от главной оптической плоскости до плоскости изображения

Таким образом,  спектр  Винера и автокорреляционная функция интенсивности для плоскости  изображения  (при  наблюдении  субъективной спекл-картины) имеют тот же самый смысл,  что и для плоскости Фраунгофера при наблюдении объективной спекл- картины.

Функция автокорреляции интенсивности для объективной спекл-картины,  возникающей при однородном освещении области поверхности с размерами D ´ D имеет вид

где l  - расстояние от рассеивающей поверхности до плоскости регистрации спекл -картины.

Если на некотором расстоянии от рассеивающей поверхности расположить плоский экран,  на него спроецируется  часть  спекловой  картины. Средний размер спеклов определится размером освещаемого  участка поверхности  и  расстоянием от него до экрана. 

Для равномерно освещенного участка поверхности диаметром D средний размер спеклов  на экране, расположенном на расстоянии l от рассеивающей поверхности составляет

что соответствует размеру пятна Эйри от апертуры диаметром D.  При использовании  апертуры  квадратной  формы  средний размер спеклов будет примерно равен  l l / D.

Для субъективной спекл-картины, формируемой оптической системой с диаметром выходного зрачка D, функция автокорреляции имеет аналогичный вид. Отличие может заключаться только в форме выходного зрачка при формировании субъективной спекл-картины и зоны освещения при регистрации объективной спекл -картины.

где J1 - функция Бесселя, а

В случае наблюдения субъективной спекловой структуры она  модулирует с высокой пространственной частотой изображение , которое было бы получено в данной системе  с  некогерентным  светом.  Средний  диаметр спекла определяется формулой

где  M = d2/ d1  увеличение изображения;  F = f / D  - апертурное отношение,  т.е. величина, обратная светосиле системы.

Таким образом можно сделать вывод, что субъективные спеклы эквивалентны объективным,  генерируемым линзовым зрачком,  рассматриваемым как рассеивающая поверхность.

В общем случае аналитические свойства спекл-картины  зависят  как от степени когерентности источника излучения,  так и от характера микроструктуры рассеивающей поверхности.  Если же  пренебречь  их  зависимостью от тонких деталей строения поверхности,  то для полностью когерентного излучения нетрудно установить связь между функцией автокорреляции и комплексной степенью когерентности спекл -поля:

     Поскольку мерой  когерентности является видность интерференционной структуры,  из последнего выражения следует,  что ширина функции автокорреляции  совпадает  с  расстоянием между областями с максимальной и минимальной интенсивностями. Это расстояние и принимается за характерный размер элемента спекл-картины,  который принято называть индивидуальным спеклом.