3 ОПТИКА СПЕКЛОВ

3.1 Понятие «спекл». Спекл-картина объективная и субъективная, основные свойства и условия формирования

При освещении высоко когерентным пучком большой области оптически очень шероховатой поверхности формируется, так называемая, нормально развитая спекл-картина. Её статистические свойства не зависят от детальных характеристик микрорельефа поверхности. Такая особенность спекл-картин, обусловленных лазерным излучением, была обнаружена вслед за изобретением лазеров.

Рис. 13 Спекл-картина, получаемая при освещении лазером шероховатой поверхности

Оказалось, что изображение отражающего (пропускающего) объекта, освещенного когерентным излучением, представляет сложную гранулярную структуру, не имеющую явной связи с микроскопическими свойствами освещаемого объекта. Большинство отражающих (пропускающих) поверхностей экстремально шероховаты по сравнению с длиной волны источника излучения. Можно считать, что основной вклад в рассеяние вносят малые участки поверхности с центрами в зеркально отражающих точках. С увеличением крутизны шероховатостей и величины освещаемой области число точек излучения возрастает. Волна, отраженная от такой поверхности состоит из «вкладов» от большого числа малых участков поверхности, которые можно считать независимыми рассеивающими областями. Распространение этого отраженного (прошедшего) излучения до области наблюдения приводит к тому, что в заданной точке наблюдения складываются рассеянные компоненты каждая со своей задержкой. Интерференция этих де-фазированных, но когерентных волн, приводит  к гранулярной спекл-картине. Иными словами, спеклы - это интерференционная картина нерегулярных волновых фронтов, образующаяся при падении когерентного излучения на сильно шероховатую поверхность.

Различают объективные и субъективные спеклы. Объективная спекловая картина формируется во всем пространстве перед освещаемой поверхностью. Субъективная спекловая картина возникает при отображении рассеивающей поверхности на экран с помощью оптической системы. Объективную спекловую картину можно зарегистрировать если в плоскости наблюдения расположить фотопленку и засветить ее спекловой картиной. Но если сфотографировать эту же картину с помощью фотоаппарата, то на фотопленке получим субъективную картину т.к. ее параметры будут уже зависеть от объектива фотоаппарата.

Рассмотрим механизм образования спеклов на примере изображения точечного источника.

 

Рис. 15 Изображение точечного источника света

Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника, преобразуется в сходящуюся сферическую волну с центром S¢ - геометрическое изображение точечного источника S.

Структура пятна, вид дифракционной картины, зависят от формы отверстия, образуемого оправой объектива. Пусть отверстие круглое, а его диаметр 2а, тогда в плоскости изображения p¢ амплитуда дается Фурье-преобразованием круговой функции. Амплитуда в точке Р дается функцией Эйри

угловой радиус первого кольца

 

Сместим плоскость наблюдения из p¢ в плоскость p¢¢, отстоящую на расстояние dl,   dl << OS¢.

Рис. 16 Изображение точечного источника света при небольшой дефокусировке

Волны, дифрагированные различными точками волновой поверхности S, приходят в S¢  в фазе, а в точку S¢¢ с разными фазами. Максимальная разность хода D в точке S¢¢   D=IS¢¢- OS¢¢. Можно показать , что

Этой разностью хода и объясняется снижение качества изображения. Если требуется, чтобы дифракционная картина в точке S¢¢ практически не отличалась от дифракционной картины в точке S¢, то величина D должна быть значительно меньше l.

Рис. 17 Линии равной интенсивности в окрестности изображения точечного источника

На рисунке 17 приведено распределение интенсивности дифрагировавшего излучения в окрестности изображения S¢¢ (показаны линии изофот). Распределение интенсивности вдоль оптической оси (ось z) описывается функцией

.

Первый нуль интенсивности на оси получается при z = ± 2l ¤ a2 от фокуса. Если считать допустимой потерю интенсивности в 20%, то допуск на положение фокальной плоскости Dz равен приблизительно ± l ¤ 2a2.

Параметры фокального объема

Наибольшая плотность энергии локализована в объеме, напоминающем по форме сигару. Отсюда следует, что чем больше угол a, тем меньше резкость изображения.

 

Изображение двух монохроматических точечных источников света

Пусть S1 и S2 очень маленькие отверстия в непрозрачном экране. Экран освещается монохроматическим, некогерентным, однородным источником. Тогда можно считать, что эти отверстия практически представляют два одинаковых точечных источника (рис. 18).

Рис. 18 Изображение двух точечных источников

n      Первый случай: на экран с отверстием падает свет лишь от элемента dS0 с центром в точке М.

Волны дифрагировавшие на отверстиях S1 и S2  имеют разность хода  D=MS1 - MS2  и соответственно этому разность фаз j =2p D ¤ l .

Точечные отверстия, освещаемые элементом источника dS0 можно рассматривать как когерентные. Чтобы найти вид суммарной дифракционной картины в плоскости p¢ нужно сложить амплитуды световых колебаний, учитывая их разность фаз. Рассмотрим два случая взаимного расположения источника и отверстий с учетом того, что волны приходят в плоскость p¢ в фазе и в противофазе.

Рис. 19 Вид распределения интенсивности и амплитуды поля в зависимости от соотношения фаз волн

Таким образом видим, что результат существенным образом зависит от соотношения фаз суммируемых волн.

n      Второй случай: два отверстия  S1 и S2 освещаются одновременно двумя элементами поверхности источника S0 для которых сдвиг по фазе пусть также составляет 0 и p.  В этом случае для получения результирующего распределения можно сложить интенсивности, поскольку разные элементы поверхности источника не являются когерентными между собой.

n      Третий случай: на экран с отверстиями падает излучение от всей поверхности источника S0. Если разбить поверхность S на множество элементов dS и повторить рассуждения, то распределение интенсивности в плоскости p¢ будет иметь такой же вид, как и при суммировании интенсивностей для двух дифракционных изображений отверстий S1 и S2.

Выводы:

Когерентные источники. Распределение амплитуды в плоскости p¢ дается сверткой функции амплитуды дифракционной картины, создаваемой объективом О, с двумя дельта-функциями, соответствующими двум геометрическим изображениям  S¢1 и S¢2.

некогерентные источники. Распределение интенсивности в плоскости p¢ представляет собой свертку функции интенсивности дифракционной картины, создаваемой объективом О, с теми же дельта-функциями.

 

Изображение большого числа монохроматических точечных источников, расположенных хаотически.

В экране p имеется много одинаковых отверстий, расположенных хаотически (рис. 19).

Рис. 20 Изображение большого числа хаотически расположенных источников

Первый случай: отверстия S1, S2, S3 и т.д. расположены хаотически и освещаются только одним элементом  dS0 с центром в точке М. Они играют роль когерентных источников излучения. Каждому из них в плоскости изображения соответствует дифракционная картина с распределением амплитуды поля, показанным на рис.  . Для нахождения суммарной амплитуды поля в плоскости изображения p¢ их надо просуммировать с учетом фазы.

В результате суперпозиции возникает очень сложная система отдельных пятен, размер наименьших из которых примерно равен диаметру дифракционного пятна, формируемого объективом О при его освещении точечным источником излучения (рис. 21).

 

Рис. 21 Сечение дифракционной картины при дифракции на одной и на множестве одинаковых частиц

Это и есть спекл-структура.

Если увеличить размеры участка dS0, освещающего отверстия  S1, S2, S3 и т.д., то источники S1, S2, S3 и т.д. станут частично когерентными, и контраст спеклов уменьшится. А если отверстия S1, S2, S3 и т.д. осветить протяженным источником S0 то контраст спеклов будет уменьшаться и в конечном итоге они уменьшатся до нуля.

Используя понятие дельта-функции, говорят, что

спеклы представляют собой результат свертки амплитуды дифракционной картины, формируемой объективом О, со всеми дельта-функциями, соответствующими геометрическим изображениям S¢1, S¢2, S¢3 и т.д. источников S1, S2, S3 и т.д.

Если источники некогерентны, то берется такая же

 свертка интенсивности дифракционной картины

 

Спектр большого числа когерентных точечных источников

Точечный источник, расположенный на бесконечности освещает экран p, в котором имеется множество малых отверстий S1, S2, S3 и т.д.

Рис. 22 Спектр и изображение большого числа хаотически расположенных источников

Отверстия S1, S2, S3 и т.д. выступают в роли когерентных источников. Нас интересует дифракционная картина в фокальной плоскости F объектива O. Она представляет собой фурье-образ системы точечных источников. Основным отличием структур поля в фокальной плоскости и в плоскости изображения является наличие очень яркого центрального пятна в фокальной плоскости. Его появление обязано синфазному сложению волн, испускаемых всеми источниками S1, S2, S3 ..., в фокусе объектива. В произвольной точке фокальной плоскости, фазы волн, посылаемых источниками S1, S2, S3 и т.д., принимают любые значения в интервале от 0 до 2p. Вследствие таких флюктуаций фаз волн, интерферирующих в фокальной плоскости, возникает пятнистая структура.

            Спеклы, наблюдаемые в фокальной плоскости и в плоскости изображения, отличаются по происхождению друг от друга. В фокальной плоскости размер наименьшего из них по порядку такой же величины как и диаметр дифракционной картины, обусловленный дифракцией на объективе О и наблюдаемый в фокальной плоскости (рис. 23).

    

Рис. 23 Вид дифракционной картины при дифракции на апертуре и на двух маленьких частицах, расположенных по краям апертуры

В плоскости p¢ размер дифракционных пятен определяется угловым диаметром 2a объектива О. В фокальной плоскости размер дифракционных пятен определяется угловым диаметром 2a¢. Поскольку a¢ > a, спекл-структура в плоскости F будет более тонкой, чем в плоскости p¢.

На практике наиболее часто встречается случай когда источники S1, S2, S3 ... имеют конечные размеры. Если их форма приблизительно одинакова, и они расположены хаотически и произвольно ориентированы, то распределение интенсивности в плоскости в фокальной плоскости будет промодулировано дифракционной картиной, создаваемой каждым из этих отверстий в отдельности. В центре дифракционной картины имеется пик интенсивности, угловой размер которого определяется дифракцией на объективе О при его освещении точечным источником. Если число источников равно N, то интенсивность в центре пропорциональна N2.

Практическим примером получения такой дифракционной картины является дифракция на мазке крови. Характерный размер эритроцита 7-8 мкм, а размер освещающего пучка лазера ~ 1000 мкм, так что в освещенной зоне оказывается несколько сотен клеток.

 

Рис. 24 Фотография дифракционной картины на мазке крови

 

Спектр большого числа когерентных точечных источников, образующих идентичные, одинаково ориентированные и хаотически расположенные пары

Рис. 25 Спектр экрана, содержащего хаотически расположенные пары отверстий

            Пусть в экране p имеются совершенно одинаковые малые отверстия, объединенные в пары. Расстояние между двумя отверстиями  одной пары одинаково для всех пар и равно x0. Прямые, соединяющие отверстия одной пары параллельны одному и тому же выделенному направлению и, следовательно, параллельны друг другу.

Пары отверстий расположены в плоскости p хаотически. Получить такой экран можно простым смещением в заданном направлении исходных отверстий на расстояние x0. Спектр полного набора отверстий имеет такой же вид, как и спектр одной пары отверстий, но интенсивность его в N раз больше, где N - число пар отверстий. Спектр двух малых отверстий представляет собой полосы Юнга, ориентированные перпендикулярно линии, соединяющей центры отверстий. Угловое расстояние между линиями

            Представим точечные источники функцией D(h,x). Экран, содержащий полный набор отверстий, можно представить сверткой

            Спектр, соответствующий набору отверстий в экране p, вычисляется как фурье-образ свертки. Функция D(h,x) описывает диффузор, а ее фурье-образ  - спекл-структуру, возникающую в фокальной плоскости. Фурье-образ суммы двух дельта-функций равен 1+exp(j2pvx0/l). Без учета центральной области вокруг точки F, фурье-образ распределения амплитуд в плоскости экрана p будет равен

            С точностью до постоянного множителя для интенсивности получим

.

            Из этого выражения видно, что диффузный фон модулирован полосами Юнга, расстояние между которыми равно l/x0.

 

Свойства спеклов в изображении объекта, освещаемого лазером

            Если диффузный объект G освещают лазером, т.е. практически точечным источником, излучающим монохроматическое излучение, то излучение, рассеиваемое всеми точками поверхности объекта, когерентно и, следовательно, интерферирует. На изображении возникает множество интенсивных пятен, расположенных совершенно хаотически.

nразмер спекла

n      объективная спекл картина

Рис. 26 Размер объективного спектра

Диаметр e наименьших из спеклов приблизительно равен диаметру дифракционной картины от области, освещаемой лазером на поверхности матовой пластины. Если диаметр области 2a, расстояние от объектива до плоскости наблюдения l, то a=a/l и e »l/a. См. набор спекл-картин, иллюстрирующих трансформацию размера спекла.

n субъективная спекл картина

Рис. 27 Размер субъективного спектра

Диаметр e наименьших из спеклов приблизительно равен диаметру дифракционной картины от объектива, формирующего изображение. Если диаметр объектива 2a, расстояние от объектива до плоскости наблюдения l, то a=a/l и e »l/a.

nсмещение

            Если объект G освещается параллельным пучком, падающим на него под некоторым углом, то при его смещении в собственной плоскости разность фаз волн, исходящих из его разных точек, не изменяется. Поэтому спекл-структура в плоскости p¢ тоже останется без изменений, она лишь будет следовать за перемещением объекта.

n поворот

Рис. 28 Схема с перпендикулярным падением лучей

Если же объект G повернуть в его собственной плоскости, то относительные фазы и спекл-структура изменятся (во всех случаях, кроме случая нормального падения пучка на объект G). Тоже самое происходит и тогда, когда мы имеем дело с диффузно отражающим объектом.

n    влияние диафрагмы

Если в некоторой плоскости перед объективом поместить диафрагму и перемещать ее в этой плоскости, то спекл-структура в плоскости  p¢ будет изменяться.

Рис. 29 Влияние смещения диафрагмы

Смещение диафрагмы эквивалентно введению некоторого фазового множителя, неодинакового для разных точек объекта, на которых происходит дифракция излучения. При изменении положения диафрагмы изменяются разности фаз в плоскости  p¢ между дифракционными картинами, соответствующими разным точкам объекта G, а это и приводит к изменению спекл-структуры.

Форма диафрагмы определяет форму спеклов, как следует из механизма их образования. На рис. 30 для примера показаны спеклы, получающиеся в случае щелевой диафрагмы – все они вытянуты в направлении, перпендикулярном ориентации щели. См. набор спекл-картин, иллюстрирующих трансформацию формы спекла.

Рис. 30 Влияние щелевой диафрагмы

Изменение спекл-структуры при смещении плоскости наблюдения

Рис. 31 Влияние смещения плоскости наблюдения

Сместим плоскость наблюдения p¢ в направлении перпендикуляра к ней. Дифракционные картины, являющиеся изображениями разных точек матового стекла, изменятся. Если смещение dl мало, то между спекл-структурами в плоскостях p¢ и p¢¢ будет некая корреляция. Как известно, изображением каждой точки объекта является дифракционная картина, имеющая в трехмерном пространстве форму «сигары». Такие «сигары» ориентированы так, как показано на рисунке и в пространстве расположены хаотически. Если смещение мало по сравнению с половиной длины «сигары», то будет существовать корреляция между спекл-структурами в плоскостях p¢ и p¢¢. Для этого случая можно ввести коэффициент подобия

Из этой формулы и условия подобия изображений точечного источника при дефокусировке следует, что для увеличения коэффициента подобия при заданном dl нужно уменьшить угловую апертуру 2a объектива О. К такому же выводу придем , если рассматривать смещение не плоскости p¢, а самого диффузного объекта G.

            Аналогичный результат будет получен и при смещении объектива вдоль оси  при неизменном положении плоскости p¢ и объекта G.

 

            Спеклы Френеля и Фраунгофера

По аналогии с дифракцией Френеля и дифракцией Фраунгофера можно говорить о спеклах Френеля и Фраунгофера. Рассмотрим дифракцию на круглом отверстии в зоне Френеля на оси системы:

Рис. 32 Схема дифракционной задачи Френеля

Интенсивность в точке M представляет собой результат интерференции волн, испускаемых всеми точками отверстия T. Разность хода в точке M для волн, исходящих из центра C и из крайней точки A отверстия T, дается выражением

где a - радиус отверстия, а l - расстояние E1E2. Разность хода в точке M для волн, испускаемых двумя произвольными точками отверстия T, меняется в интервале от 0 до D, так как D - максимальная разность хода волн для данного отверстия. Сместим плоскость наблюдения на расстояние dl. Если величина смещения достаточно мала, то вид интерференционной картины в точке M¢ , практически таким же как и в точке M. Смещению на dl соответствует изменение разности хода на a2dl/2l2. Чтобы вид интерференционной картины оставался неизменным вдоль отрезка MM¢, изменение разности хода должно быть значительно меньше длины волны света l. Поскольку a=a/l, получаем условие 

.

            Аналогичные выводы получаются и для рассмотрения явления не на оси системы. Можно утверждать, что дифракционные картины Френеля в плоскостях E¢2 и E2 подобны. Если экран E2 сместить на расстояние, превышающее 2l/a2, то дифракционная картина Френеля изменится. Чем больше расстояние E1E2 (меньше угол a), тем медленнее изменяется дифракционная картина при смещении плоскости.

            Начиная с некоторого достаточно большого расстояния между экранами E1 и E2, экран E2 можно отодвигать сколь угодно далеко. Пока допустимое смещение dl конечно, мы имеем дело с дифракцией Френеля. При дальнейшем удалении экрана E2 мы постепенно перейдем в область дифракции Фраунгофера. В этой области dl может принимать практически любые значения.

            Теперь рассмотрим случай когда в плоскости отверстия находится экран с очень большим числом хаотически расположенных маленьких отверстий. Вследствие интерференции в плоскости E2 будет наблюдаться спекл-структура. Если экран E2 сместить на расстояние, соответствующее критерию малости смещения, то картина интерференции практически не изменится. Можно изобразить целый ряд пар параллельных плоскостей, разделенных тем расстоянием, на которое можно смещать плоскость наблюдения без существенных изменений в структуре спеклов. В той области пространства, где расстояния E2E¢2, E3E¢3 и т.д. конечны, наблюдаются спеклы Френеля (рис. 33).

Рис. 33 Подобные спекл-структуры, наблюдаемые в параллельных плоскостях

Если же все больше и больше удалять плоскость наблюдения, то мы перейдем в область спеклов Фраунгофера, где расстояние между плоскостями En и E¢n бесконечно велико.