Уровень: Основной текст

Приложение

Сведения из теории обобщенных функций

Свойства обобщенных функций позволяют использовать методы дифференциального и интегрального исчисления применительно к функциям, не обладающим свойством непрерывности.

К обобщенным функциям принято относить прежде всего дельта-функцию Дирака и ступенчатую функцию Хевисайда.

Дельта-функция

Определение:

(1a)

(1б)

Вариант определения дельта-функции с переменным параметром  :

где

. (2)

Предел функции (2) при  существует не при всех значениях х, однако всегда существует предел

.

Любая операция над дельта-функцией подразумевает операцию над функцией вида  с последующим нахождением предела при  в конце вычислений.

Свойства дельта-функции

1. "Селектирующее" свойство выражается в форме  (3)

   где f(x) - любая непрерывная функция. Это легко доказать, приняв 
   
   

   Подбором значения в (2), можно уменьшить погрешность замены f(x) на f(a) до требуемого любого малого значения. Интегрирование достаточно выполнить лишь в окрестности точки a, поэтому символически записывают следующее соотношение:
   
   

   
   
   

   При последняя запись сводится к соотношению 

2. Свойство четности:
   
   
   
   

   (4)

3. Изменение масштаба:
   
   
   
   
   
   

   (5)

4. Свертка двух дельта-функций определяется как  (6)



5. Дифференцирование

Переход к пределу при  приводит к соотношению

В общем случае производной n-го порядка

(7)

Свойства производных:

(8)

(9)

Определение дельта-функции через интеграл Фурье

Выразим значение функции f(x) в точке a в форме

Обозначив

и изменяя порядок интегрирования, с учетом четности дельта-функции получаем

где 

Последний интеграл следует понимать в смысле

При f(x)=1,  поэтому дельта-функцию можно определить как

(10)

т.е. как Фурье-образ от единицы.

Обратное соотношение выражается в виде

(11)

Единичная ступенчатая функция

Определение ступенчатой функции имеет вид

Можно показать, что справедливо соотношение

Селектирующее свойство выражается в форме

(14)

Примеры дифференцирования разрывных функций

1. Пусть функция f(x) задана соотношением
   
   
   
   

   
   
   

   Тогда 

2. Знаковая функция sgn(x) по определению есть
   
   
   
   

   
   
   

   или
   
   

   
   
   

   Эту функцию можно выразить через обобщенные функции, а именно
   
   

   

3. Производные функции  можно выразить как
   
   

   

   
   
   

   или 

   При использовании дельта-функции можно записать

   

   т.е. излом графика дает вторую производную (кривизну) в виде функции  .