Приложение. Дифференциальные операторы математической теории поля

Математический аппарат, применяемый в теории электромагнитного поля - это теория скалярного и векторного поля. Предмет этого раздела математики - скалярные (1.П.1) и векторные (1.П.2) функции от трех пространственных переменных (радиус-вектора точки в пространстве):

        (1.П.1)

        (1.П.2)

В соотношениях теории поля используются дифференциальные операторы дифференцирования по времени (например, ) и по пространственным координатам. Операторы дифференцирования по пространственным координатам могут быть векторами или скалярами, с которыми можно производить все известные из векторной алгебры действия, в частности, векторное произведение (1.П.3), скалярное произведение (1.П.4) и смешанное произведение (1.П.5):

        (1.П.3)

        (1.П.4)

        (1.П.5)

Дифференциальные операторы 1-го порядка

Оператор дифференцирования по пространственным координатам является вектором:

        (1.П.6)

Применяя оператор к скалярному или векторному полю, можно получить следующие скалярные и векторные величины:

        (1.П.7)

        (1.П.8)

        (1.П.9)

Результаты выражений (1.П.7) и (1.П.9) - векторы, а результат выражения (1.П.8) - скаляр.

Дифференциальные операторы 2-го порядка

Оператор называется оператором Лапласа:

        (1.П.10)

Применение этого оператора к скалярному полю дает скалярную величину (1.П.11), а к векторному - векторную (1.П.12):

        (1.П.11)

        (1.П.12)

Основные математические тождества теории поля

Все рассмотренные соотношения широко используются в оптике для описания светового поля, вывода уравнений и законов геометрической оптики.