	Уровень: Глоссарии:

Измерения случайных величин, процессов и полей

Термин "измерение случайных величин" можно понимать как условный; на самом деле измеряются числовые характеристики их законов распределения вероятности, которые, как известно, не являются случайными. Установить размер или измерить значение случайной величины нельзя именно потому, что они случайные.

С помощью однократного измерения определить вероятные характеристики случайной величины, естественно, невозможно.

Многократное измерение нужно стремится организовать так, чтобы рассеянием результата из-за случайности отсчета можно было пренебречь по сравнению с рассеянием из за случайного характера самой измеряемой величины.

Изменение физической величины во времени называется процессом . Если при повторениях он каждый раз протекает случайным образом, то это случайный процесс .

Существуют два способа описания случайных процессов. При первом из них каждому текущему моменту времени t ставятся в соответствие случайные величины x_i{1,...n}; при втором - случайный процесс Q (t) задается множеством своих реализаций x(t). Случайные величины x_i в каждом сечении t = const подчиняются определенному закону распределения вероятности. Если он одинаков для любого сечения, т. е. не зависит от времени, то процесс называется стационарным ; в противном случае - нестационарным. Стационарные случайные процессы обладают свойством эргодичности , заключающемся в том, что вероятностные характеристики, вычисленные по множеству реализаций и по любой из них, равны между собой. Это позволяет при измерениях обходиться одной реализацией стационарного случайного процесса.

Для стационарного случайного процесса, в частности, начальный момент первого порядка определяется как

Это так называемая постоянная составляющая стационарного случайного процесса.

Мерой статистической связи между значениями стационарного случайного процесса без постоянной составляющей в моменты времени t₁ и t₂= t₁- служит смешанный центральный момент второго порядка называемый корреляционным . Вероятно - статистические характеристики стационарного случайного процесса не зависят от времени, поэтому t₁ можно выбрать произвольно, приняв t₁=t. Тогда корреляционный момент будет зависеть только от . В силу эргодичности он равен

(41)

С переходом от фиксированного времени к текущему корреляционный момент стал функцией.

Определенная выражением (41) корреляционная функция обладает следующими свойствами.

При =0 корреляционная функция максимальна и равна дисперсии стационарного случайного процесса.
Максимальное значение корреляционной функции при =0 объясняется тем, что статистическая связь между неразличимыми по времени значениями x(t) является наибольшей. Корреляционную функцию часто нормируют по ее максимальному значению:

r( )= ( )/ (0), тогда r(0)=1.
Корреляционная функция является четной, т. е. ( )= (-tau;).
При ®0 ( ) ®0, если в x(t) нет детерминированной составляющей.
Корреляционная функция (t) монохроматического колебания является косинусоидой с такой же частотой.
Корреляционная функция суммы независимых процессов равна сумме их корреляционных функций. Вместе с предыдущим это свойство используется в оптимальной фильтрации для суммирования гармоник сигнала в момент =0.
Корреляционная функция связана со спектром мощности случайного процесса прямым и обратным преобразованиями Фурье:
(2)

(3)

Это положение известно как теорема Винера - Хинчина. Таким образом, спектр мощности, как и к корреляционная функция, может служить неслучайной характеристикой случайного процесса.

Корреляционная функция является основной характеристикой стационарных случайных процессов, поддающейся измерению и определяющей их внутренние статистические свойства.

Обобщением понятия случайного процесса является понятие случайного поля

Под полем понимают функцию Q(x, y, z,...) нескольких координат.

Изменение физической величины вдоль любого направления случайного поля аналогично случайному процессу с той лишь разницей, что роль времени играет пространственная координата.

Если закон распределения вероятности не меняется вдоль пространственной координаты, то поле называется однородным , если не зависят от направления в пространстве - изотропным.

Пространственная корреляционная функция однородного и изотропного случайного поля

где и - координаты двух различных точек пространства, а

Пространственно- временная корреляционная функция стационарного, однородного и изотропного случайного поля

где =t₂ - t₁, а черта означает усреднение и по времени и по пространству.

По аналогии с процессами для полей вводится понятие пространственных частот.

Пространственный спектр неслучайного поля

пространственно- временной -

где - соответственно пространственные и временные частоты.

Контактными неподвижными средствами регистрируют только процессы, поскольку для обзора пространства необходимо относительное движение. Недостатком контактных средств является возмущение измеряемого поля первичным измерительным преобразователем.

Неконтактные средства измерений могут быть с высокой и низкой разрешающей способностью.