Предыдущий уровень изложения текущего раздела   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Следующий уровень изложения текущего раздела   Уровень:


Вычисление длины дуги, заданной в декартовой системе координат

2.6.2.b Примеры

1. Найти длину дуги кривой y = ln x, .

Решение.

Применяя (1) п.2.6.2.в , получим , откуда . Для вычисления этого интеграла применим 1 + x2 = t . Тогда .



2. Найти периметр криволинейного треугольника, ограниченного дугой окружности x2 + y2 = 2 и графиком функции .

Решение.

Находим координаты точек пересечения окружности x2+ y2 = 2 и кривой : А(-1,1) и В(1,1). Так как треугольник ОАВ симметричен относительно оси OY, то будем искать половину его периметра при . Дугу ОВ зададим уравнением x = y2. Тогда формула (1) п.2.6.2. в примет вид , где функция является обратной по отношению к функции , задающей кривую. По этой формуле получаем . Далее, применяя формулу интегрирования по частям и сводя интеграл к себе ( см. п.1.5 задача 9 ), получим .

Теперь найдем длину дуги окружности СВ, для чего представим уравнение окружности в виде . Тогда .

Периметр треугольника равен 2l 1+ 2l2 = .