Предыдущий уровень изложения текущего раздела   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Следующий уровень изложения текущего раздела   Уровень:


Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

2.6.2.а. Примеры.

 1. Вычислить длину одного витка винтовой линии x = a cos t, y = a sin t,

z = bt.

Решение.

Найдем производные от параметрических уравнений данной линии: , и . Тогда и, так как один виток получается при изменении параметра t от 0 до 2π, то, используя формулу (1) п.2.6.2.а , получим .

2. Найти длину кривой x = (t2-2) sin t+2t cos t, y = (t2-2) cos t - 2t sin t, где .

Решение.

Дифференцируя уравнения кривой, получим . Отсюда и .

3. Найти длину петли кривой x = t2, .

Решение.

Кривая дважды проходит через точку x = 1/3, y = 0, при , образуя петлю, длину которой и требуется вычислить. Учитывая, что и , получим .
Тогда