Уровень: Основной текст

Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в двоичной системе	Сложение в восьмеричной системе
Сложение в шестнадцатиричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Ответ:15+6 = 21₁₀ = 10101₂ = 25₈ = 15₁₆.

Проверка: Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

0101₂ = 2⁴ + 2² + 2⁰ = 16+4+1=21,

25₈ = 2·8¹ + 5·8⁰ = 16 + 5 = 21,

15₁₆ = 1·16¹ + 5·16⁰ = 16+5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Ответ: 5+7+3 = 25₁₀ = 11001₂ = 31₈ = 19₁₆.

Проверка:

11001₂ = 2⁴ + 2³ + 2⁰ = 16+8+1=25,

31₈ = 3·8¹ + 1·8⁰ = 24 + 1 = 25,

19₁₆ = 1·16¹ + 9·16⁰ = 16+9 = 25.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 201,25

311,2₈ = 3·8² + 1·8¹ + 1·8⁰ + 2·8^-1 = 201,25

C9,4₁₆ = 12·16¹ + 9·16⁰ + 4·16^-1 = 201,25

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^-1 = 141,5;

215,4₈ = 2·8² + 1·8¹ + 5·8⁰ + 4·8^-1 = 141,5;

8D,8₁₆ = 8·16¹ + D·16⁰ + 8·16^-1 = 141,5.

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе	Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5·6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30;

36₈ = 3·8¹ + 6·8⁰ = 30.

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115·51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;

13351₈ = 1·8⁴ + 3·8³ + 3·8² + 5·8¹ + 1·8⁰ = 5865.

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30 : 6 = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Ответ: 5865 : 115 = 51₁₀ = 110011₂ = 63₈.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51; 63₈ = 6·8¹ + 3·8⁰ = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Ответ: 35 : 14 = 2,5₁₀ = 10,1₂ = 2,4₈.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

10,1₂ = 2¹ + 2^-1 = 2,5;

2,4₈ = 2·8⁰ + 4·8^-1 = 2,5.