|
|
|
|
|
|
||
Основные соотношения параксиальной оптики связывают между собой фокусные расстояния, положение и размеры предмета и изображения, угловое, линейное и продольное увеличения.
Для вывода зависимости между положением и размером предмета и изображения воспользуемся рис.5.3.1. 
подобен 
, следовательно:
, отсюда 
Тогда, в соответствии с выражением (5.2.1), линейное увеличение можно выразить следующим образом:
(5.3.1)
Аналогично, из подобия треугольников 
и 
можно получить выражение:
(5.3.2)
Таким образом, увеличение можно выразить как через передние, так и через и задние отрезки. Отсюда можно получить формулу Ньютона:
| (5.3.3) |
Если оптическая система находится в однородной среде (
), то 
, и формула Ньютона получает вид:
(5.3.4)
Выразим 
и 
через фокусные расстояния и передний 
и задний 
отрезки:
Тогда выражение (5.3.3) можно записать в виде:
После преобразований получим выражение, связывающее фокусные расстояния и передний и задний отрезки (формула отрезков или формула Гаусса):
| (5.3.5) |
Теперь рассмотрим угловое увеличение, опять воспользовавшись рис.5.3.1. Из 
, видно, что:
, отсюда 
Аналогично можно вывести выражение:
Теперь можно выразить угловое увеличение через передний и задний отрезки:
(5.3.6)
Выразим 
из формулы Ньютона (5.3.3), тогда после преобразований получим выражение для вычисления углового увеличения:
| (5.3.7) |
Из выражения (5.3.7) следует, что если выбрать плоскости предмета и изображения таким образом, что 
и 
, то в точках пересечения этих плоскостей с осью угловое увеличение равно единице. Такие точки называются узловыми точками.
Чтобы найти узловые точки 
и 
, от переднего фокуса откладывается заднее фокусное расстояние, а от заднего фокуса откладывается переднее фокусное расстояние (рис.5.3.2). Отрезки 
и 
равны. Если 
(
), то узловые точки совпадают с главными.
Следствием выражений (5.3.2) и (5.3.7) является следующее соотношение:
| (5.3.8) |
Рассмотрим различные положения предмета и изображения (различные 
и 
):
. Тогда 
, линейное увеличение 
, следовательно, предмет и изображение - это главные плоскости. Угловое увеличение 
.
. Тогда 
, угловое увеличение 
, следовательно, предмет и изображение - это узловые точки. Линейное увеличение 
.
. Тогда 
, линейное увеличение 
, угловое увеличение 
, следовательно, предмет находится на двойном фокусном расстоянии, то есть расстояние между предметом и изображением минимально.
. Тогда 
, линейное увеличение 
, угловое увеличение 
, следовательно, предмет находится в переднем фокусе, а изображение - в бесконечности.
. Тогда 
, линейное увеличение 
, угловое увеличение 
, следовательно, предмет находится на бесконечности, а изображение - в заднем фокусе.
Рассмотрим рис.5.3.3. Длину отрезков 
и 
можно выразить следующим образом:
По определению продольного увеличения (5.2.4):
После преобразований, с учетом выражений (5.3.1) и (5.3.2), получим:
(5.3.9)
где 
и 
- поперечные (линейные) увеличения в точках 
и 
.
Или, с учетом выражения (5.2.5):
(5.3.10)
Теперь рассмотрим продольное увеличение для бесконечно малых отрезков (
, 
) (по определению это и есть продольное увеличение* ). В этом случае линейное увеличение в точках 
и 
будет одинаковым, следовательно:
| (5.3.11) |
Из выражения (5.3.8) можно получить:
| (5.3.12) |
Если оптическая система находится в однородной среде (
), то:
, 
(5.3.13)
То есть продольное увеличение равно квадрату линейного увеличения, а угловое обратно пропорционально ему.
Диоптрийное исчисление - это измерение продольных отрезков в обратных единицах (диоптриях):
, 
где 
- приведенная длина.
Одна диоптрия соответствует приведенному отрезку в 1м. Если отрезок измеряется в мм, то обратный отрезок измеряется в килодиоптриях.
Используя формулу отрезков (5.3.5) и выражение (5.2.5) можно получить важное соотношение для приведенных отрезков в пространстве предметов и изображений и оптической силы, измеряемых в диоптриях:
или
| (5.3.14) |
и 
- приведенные передний и задний отрезки в диоптриях. То есть оптическая система увеличивает приведенный отрезок в пространстве изображений (в дптр) на величину оптической силы. Инвариант Лагранжа-Гельмгольца связывает линейный размер предмета и угловой размер пучка лучей (рис.5.3.4). Эта величина инвариантна, то есть неизменна в любом пространстве.
Для вывода этого инварианта воспользуемся выражением (5.3.8), связывающим угловое и линейное увеличения. Тогда воспользовавшись выражениями (5.2.1) и (5.2.3), определяющими линейное и угловое увеличения, получим следующее соотношение:
(5.3.15)
Выражение (5.3.15) можно преобразовать, и тогда получим инвариант Лагранжа-Гельмгольца:
| (5.3.16) |
Инвариант Лагранжа-Гельмгольца характеризует информационную емкость оптической системы, то есть величину пространства, которое может быть отображено оптической системой. Этот инвариант математически выражает закон сохранения информации в геометрической оптике.
