Предыдущий уровень изложения текущего раздела   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Первый уровень изложения следующего раздела   Уровень: Глоссарии:


Случайные погрешности





Причинами появленияслучайных погрешностей являются неконтролируемые непрерывные изменениявсех факторов(условий), влияющих на результаты измерений и именно такие изменения, воздействие на которые или учет которых всегдабываетвозможен только до известных пределов в данном процессе. Поэтому результаты измерения одной и той же величины неизбежно отличаются друг от друга на малые числовые значения. Пределы расхождения результатов измерений, а следовательно, и случайные погрешности, зависят от точности прибора, опытности наблюдателя, точности учета измерений и т.д. Чем точнее прибор, опытнее наблюдатель, чем точнее учитывается влияние внешних условий и т.д., тем меньше будут те изменения, которые не будут улавливаться при измерениях, тем меньше будут и случайные погрешности. Но сколь совершенными бы нибыли измерения, невозможно, чтобы они были свободны от случайных погрешностей.Случайные погрешности нельзя исключить из результата измерений, ноих влияние может быть значительно уменьшено путем обработки результатов измерений. В связи стем, что возникновение случайных погрешностей неизбежно и неустранимо, основной задачей всякого процесса измерения является доведениепогрешностей до минимума. Нестабильность показаний всякого прибораявляется источником появления случайных погрешностей измерений. Так,в механических приборах появление случайных погрешностей вызывается наличием зазора в звеньяхкинематической цепи механизма прибора, наличия слоя смазки и т.д. В этом случае отсутствует определенная закономерность, выражающая погрешность в зависимости от угла поворота стрелки или какой-либо другой независимой переменной, но имеется закономерность, определяемая законами теории вероятностей,выражающими вероятность той или иной погрешности в зависимости от значения погрешности, причемчисловое значение этой погрешности не может выйти за определенные пределы, установленные для данного метода измерений механизма прибора и т.п. Эти условия являются справедливыми как дляединичного образца механизма, прибора ит.п., так и для группы приборов с одинаковыми техническими характеристиками. Появление этих погрешностейзависит от качества изготовленияприбора, внешних условий и т. д., но не зависит от структуры механизма прибора,т. е.от теоретических факторов. Влияние погрешности может быть значительно уменьшено повышением кратности измерений и вычислением среднего арифметического значения из многократных измерений. В общем случае вероятность появления случайной погрешности находится в пределах от 0 до 1 как для единичного образца прибора, так и для группы таких приборов. Числовое значение какой-либо погрешности нельзя заранее предвидеть, но можно установить вероятность появления каких-либо значений, зная закон распределения случайных погрешностей. Случайные погрешности изучают статистическими методами,в каждом случае рассматривая их совокупности и совершенноне касаясь отдельныхпогрешностей; роль эксперимента сказывается главным образом при увеличении числа повторных измерений, а также при более тщательном выполнении наблюдений. Рассматривая случайные погрешности как частныйслучайслучайной величины, можно использовать соответствующий аппараттеориивероятностей. Вероятностной характеристикой дискретной случайной величины являетсяфункция ее распределения, показывающая,с какой вероятностьюслучайная величина принимает те или иные значения. В отличие от дискретных случайных величин, вероятность того, что случайная величина непрерывного типа примет какое-либо определенное значение X равна нулю, так как число возможных значений бесконечно. В качестве вероятностной характеристики случайной величины в этом случае используют понятие плотности вероятности. Плотность вероятности есть предел отношения вероятности того, что возможные значения величины находятся в интервале от до ± X к длине интервала X ,когда последний стремится к нулю. Основными числовыми характеристиками результата измерений и его погрешности являются: среднее арифметическое, дисперсия, среднее квадратичное и практически предельное значения. Среднее арифметическое значение результата измерений является основной числовой характеристикой центра группирования практического (эмпирического) распределения случайных величин
,
где i результат измерения величины Q; N - общее число измерений.

Чтобы отличить среднее значение, вычисленное из опытных данных, имеющих ограниченное число наблюдений N, от среднего значения, вычисленного для теоретическогораспределения,имеющего неограниченное число наблюдений, вводятпонятие математического ожидания случайной величины. Для величин дискретного типа M(x)= i * P( i ). Это значит,что математическим ожиданием случайной величины дискретного типа является сумма произведений всех возможных значений этой величины на вероятности этих значений. Для случайных величин непрерывного типа с плотностью вероятности f(x) математическиможиданием будет интеграл:
.
Основными числовымихарактеристиками рассеиваниязначений случайной погрешности относительно центра группирования является ее дисперсия, среднее квадратичное значение и практически предельное значение. Дисперсия D(x) служит мерой рассеивания значений случайной величины x около центра группирования. Недостатком дисперсии является ее размерность, которая выражается квадратомразмерности случайныхвеличин. Поэтому в качестве мерырассеивания случайнойвеличины x наиболее часто применяют среднее квадратичное значение рассеивания случайной величины относительно центра группирования:
.
Среднее квадратичное значение имеет ту же размерность, что и случайные величины, мерой рассеиваниякоторых она является. За характеристику практических пределов рассеивания значения случайной величины относительно центрагруппирования принимают практически предельное рассеивание lim x. Под ним понимают такое отклонение случайной величины x от центра группирования,за пределами которого по обе стороны находятся отклонения, вероятность появлениякоторых практически пренебрежимо мала, т. е. имеет место условие:

для дискретных величин
для непрерывных величин


Практически предельное отклонение обычно выражают в долях среднего квадратического отклонения, зная закон распределения. Для симметричных законов распределения lim( ) = A где коэффициент А зависитот формы кривой распределения и вероятности выходаслучайной величины за принятые пределы. Вероятности появления значений x, равных ( ) и lim ( ) определяется законом распределения случайных величин. Например, длянормального закона распределения практически предельной считается погрешность, числовое значение которой равно ± 3 причемвероятность, что любая погрешность результата измерений будет находиться в этих пределах равна 0.9973. Если погрешности результатов измерений ограничиваются интервалами, верхняя и нижняя граница которых с заданной вероятностьювключают погрешность результата измерений, то эти границы называют доверительными. Доверительные границы характеризуются поставленнымипередними знаками или одним из знаков,если знаки распространяются только на одни положительные или отрицательные значения погрешностей.