|
|
|
|
|
|
||
Пусть функция s(x) определяет исходный непрерывный сигнал. Операция дискретизации заключается в выполнении преобразования вида
где в простейшем случае апертурная функция элемента дискретизацииh(x) имеет вид
(47)
2b - ширина элемента дискретизации,
- функция дискретизации, 
x - шаг дискретизации, 
- нормирующий множитель, такой, что площадь под графиком d(x) равна единице.
Вид функций h(x) и d(x) иллюстрируются на рис. 1.8.
Рис. 1.8. Прямоугольная функция элемента дискретизации (а)
и функция дискретизации (б)
Сигнал s(x) можно представить последовательностью импульсов протяженностью 
имеющих амплитуды, равные значениям сигнала в точках 
. Тогда получим ступенчатую функцию, показанную на рис. 1.9, а именно
(48)
Рис. 1.9. Ступенчатая аппроксимация непрерывного сигнала
После перехода к пределу при 
получим
(49)
Такое преобразование является операцией свертки, которая имеет следующие важные свойства:
Процесс дискретизации удобно рассматривать в частотном представлении, получаемом в результате преобразования Фурье исходного сигнала. Функция дискретизации определяется в частотной области следующим выражением:
(50)
где 
обозначает операцию преобразования Фурье, 
. Вид функции D(u) показан на рис. 1.10. Таким образом, процесс выборки дискретных значений сигнала вызывает появление спектральных порядков 
Рис. 1.10. Функция дискретизации и её частотное представление
Дискретизованный сигнал имеет вид произведения двух функций, поэтому, согласно теореме о свертке, его спектр равен свертке спектров: 
. Поскольку с учетом (50) и свойств частотной симметрии преобразования Фурье (см. разд 1.5) можно записать, что
,
спектр дискретизованного сигнала представляет собой спектр исходного сигнала, периодически повторенного (перенесенного) по частотной оси с шагом 
, как это иллюстрируется на рис. 1.11, включая диапазон отрицательных частот.
Теорема дискретизации формулируется следующим образом:
Для того, чтобы спектр исходного сигнала в области частот 
не искажался в процессе дискретизации, необходимо и достаточно выполнение неравенства 
, где 
- наибольшая частота в спектре синала.
Спектр сигнала, очевидно, можно выразить в форме
(51)
Выделим из этого спектра частотный интервал 
и выполним обратное преобразование Фурье. В результате получим
(52)
Отсюда следует теорема Шеннона: если для частоты дискретизации справедливо неравенство 
то сигнал s(x) восстанавливается однозначно по его дискретным значениям 
Рис. 1.11. Формирование спектра при дискретизации сигнала
Функция
называется интерполяционной функцией Шеннона.