|
|
|
|
|
|
||
Всякий реальный сигнал имеет ограниченную протяженность. При этом вместо обычного преобразования Фурье
(34)
имеем финитное преобразование в конечных пределах
где 2X - интервал регистрации сигнала.
Для случая непрерывного изменения независимой переменной x с учётом (30) можно записать:
, (35)
где 
- прямоугольная функция протяженностью 2X.
Отличие (35) от идеального преобразования Фурье (21) иллюстрируется на рис. 1.6 для отрезка сигнала протяженности L=2X. Заметим, что середина отрезка L при этом смещена по горизонтальной оси на интервал X. Согласно свойству преобразования Фурье (25), это вызывает фазовый сдвиг 2
uX, пропорциональный значениям частоты u, но не изменяет модуль спектра.
Рис. 1.6. Изменения спектра при ограниченной протяженности сигнала
Для случая дискретных отсчётов, взятых в точках 
получим спектральные линии на дискретных частотах 
Частота 
называется фундаментальной частотой финитного преобразования Фурье.
При этом
(36)
т.е. финитное преобразование Фурье связано с коэффициентами 
ряда Фурье, а именно:
Иначе говоря, финитное преобразование Фурье сводится к нахождению коэффициентов ряда Фурье для функции s(x), периодически продолженной с периодом 
(рис. 1.7). При нецелом числе периодов, укладывающихся на отрезке L, происходит искажение спектра.
Рис. 1.7. Трансляция отрезков сигнала ограниченной протяженности