|
|
|
|
|
|
||
Сигнал s(x) может иметь непериодический характер, что приводит к необходимости обобщения ряда Фурье для случая 
в форме интеграла Фурье
(21)
который существует при условии
.
Формула (21) определяет преобразование Фурье или спектр сигнала. При известном спектре можно определить сигнал с помощью обратного преобразования Фурье
(22)
Из (21) видно, что спектр действительного сигнала s(x), вообще говоря, является комплексным, поэтому
где
- действительная и мнимая части спектра соответственно. В полярных координатах
(23)
где 
есть амплитудный спектр, 
(u) - фазовый спектр.
Основные свойства преобразования Фурье можно кратко сформулировать следующим образом.
1. Свойство линейности.
(24)
для любых функций 
и 
и любых постоянных a и b.
2. Теорема сдвига.
(25)
Сдвиг сигнала в области независимой переменной вызывает изменение фазы, пропорциональное значению частоты каждой спектральной составляющей сигнала.
3. Повторное выполнение преобразования Фурье:
(26)
восстанавливает исходный сигнал с инверсией знака независимой переменной.
4. Теорема о производной.
Если 
то
(27)
5. Свойство четности и нечетности.
Если
то в случае, когда s(x) четная функция, имеем 
- четная функция; при s(x) нечетной 
- нечетная функция.
6. Свойство подобия.
(28)
где a - постоянная.
7. Сохранение энергии.
(29)
Из этого соотношения следует, что
для любых сигналов 
и 
, имеющих спектры 
и 
.
8. Спектр свертки:
(30)
Таким образом, преобразование Фурье, примененное к свертке двух сигналов, равно произведению спектров этих сигналов.