Формулы Френеля. Соотношение между амплитудами падающих, преломленных и отраженных волн

При выводе законов преломления и отражения (параграф 3.1) не принимались во внимание энергетические соотношения между падающим, преломленным и отраженным лучами. Для учета этих соотношений необходимо использование векторного описания падающего поля.

Рассмотрим, какое количество света преломляется, а какое отражается, в зависимости от угла падения и показателей преломления сред. Эта задача была решена в первой половине XIX века Френелем (Fresnel).

Рассмотрим границу раздела двух сред с показателями преломления и . Разложим электрический вектор падающей плоской волны на две составляющих: одна лежит в плоскости падения ( ), другая перпендикулярна плоскости падения (и плоскости рисунка) ( ) (рис.3.2.1).

Рис.3.2.1. Отражение и преломление плоской волны. Формулы Френеля.

Тогда компоненты электрического вектора поля падающей плоской волны запишутся в виде:


                (3.2.1)

Поскольку вектор перпендикулярен вектору , то его компоненты можно выразить следующим образом:


          (3.2.2)

Аналогично можно разложить комплексную амплитуду отраженной волны и преломленной волны на параллельную и перпендикулярную составляющие. Тогда поле прошедшей волны:

		(3.2.3)

Поле отраженной волны:

		(3.2.4)

На границе раздела двух сред не должно быть разрывов функций, то есть тангенциальные составляющие векторов и (х- и у- составляющие, лежащие в плоскости границы раздела) должны быть непрерывны, что следует из уравнений Максвелла (1.2.1), и, следовательно, должны выполняться соотношения:

		(3.2.5)

Эти уравнения описывают непрерывность тангенциальных (лежащих в плоскости границы) компонент электрического и магнитного полей, если поглощения на границе нет.

Подставив в (3.2.5) значения всех компонент, и учитывая, что , получим:


      (3.2.6)

Можно решить уравнения (3.2.6) относительно компонент отраженной и прошедшей волн, выразив их через компоненты падающей волны. После преобразований получим формулы Френеля, для амплитуд прошедшей , и отраженной , волн соответственно:

(3.2.7)

Пользуясь законом преломления (3.1.8-3.1.9), из этих формул можно исключить показатели преломления и :

(3.2.8)

Рассмотрим теперь, как энергия поля падающей волны распределяется между отраженным и преломленным полями. Для этого можно использовать интенсивности падающей, прошедшей и отраженной волн, определяемые через квадраты их амплитуд:


      (3.2.9)

Коэффициент отражения показывает, какая часть энергии отражается по отношению к падающей:

      (3.2.10)

Коэффициент пропускания показывает, какая часть энергии проходит по отношению к падающей:

      (3.2.11)

В сумме коэффициенты отражения и пропускания равны единице:

      (3.2.12)

Коэффициенты отражения и пропускания зависят от направления поляризации падающей волны:

      (3.2.13)

      (3.2.14)