Предыдущий уровень изложения текущего раздела   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Первый уровень изложения следующего раздела   Уровень:


Свойства определенного интеграла

2.2 Решения.

1. Так как подынтегральная функция положительна и верхний предел интегрирования больше нижнего, то по свойству 2 интеграл положителен.

2. Так как подынтегральная функция отрицательна на промежутке интегрирования и верхний предел интегрирования больше нижнего, то по свойству интеграл отрицателен.

3. Так как подынтегральная функция отрицательна на промежутке интегрирования и верхний предел интегрирования больше нижнего, то по свойству 3 интеграл отрицателен.

4. Подынтегральная функция положительна на промежутке интегрирования, но верхний предел интегрирования меньше нижнего, поэтому, по свойствам 2 и 4 интеграл отрицателен.

5. Промежуток интегрирования можно разделить на две части: , на котором подынтегральная функция положительна и, следовательно, интеграл также положителен, и , на котором эта функция отрицательна и, следовательно, интеграл тоже отрицателен. Так как график функции y = cos x на промежутке интегрирования симметричен относительно точки , то модули этих интегралов, равные площадям между графиком и осью OX, равны, следовательно,

6. Промежуток интегрирования можно разделить на две части: , на котором подынтегральная функция положительна и, следовательно, интеграл также положителен, и , на котором эта функция отрицательна и, следовательно, интеграл тоже отрицателен.

По свойству графика функции y = cos x площадь между этим графиком и осью OX на промежутке в два раза меньше аналогичной площади на промежутке . Следовательно, так как , данный интеграл будет отрицателен.

7. Воспользуемся свойством. На промежутке выполнено неравенство . Поэтому первый интеграл больше, чем второй.

8. На промежутке [0,1] выполнено неравенство x2 < x. Так как функция y = ex монотонно возрастает, то e-x < e-x2. Поэтому и, следовательно, по свойству 3 второй интеграл больше.

9. Функция не определена в точке 0, но, если ее доопределить в этой точке, положив , то новая функция будет непрерывна на промежутке интегрирования и, следовательно, интегрируема там. При этом известно неравенство , если x > 0. (Для доказательства можно исследовать на монотонность функцию на указанном промежутке.) Разделив каждую часть этого неравенства на x, получим 0 < y < 1 для . Переходя в последнем неравенстве к пределу при , получим на всем промежутке [0,1]. Следовательно, второй интеграл больше.



10. На промежутке [0,1] выполнено неравенство 0 < x2 < 1. Поэтому в силу монотонного убывания функции e-x2 , будем иметь , откуда требуемое неравенство получается по свойству 3

11. На промежутке [0,1], очевидно, выполняется неравенство . Интегрируя его по данному промежутку, получим требуемое.

12. На промежутке [0,1] arctg x имеет наибольшее значение (при x = 1), а функция достигает наибольшего значения (в точке x = 0). Поэтому имеет место неравенство . Интегрируя его получаем требуемое.

13. Сначала заметим, что нам дан интеграл от четной функции по симметричному промежутку, поэтому мы можем, пользуясь свойством 9 записать . На промежутке [0,1] подынтегральная функция убывает, следовательно, легко можно найти ее наибольшее и наименьшее значения и получить неравенство . Интегрируя его, умножая на 2 и учитывая, что , получим требуемое.

14. Так как промежуток интегрирования симметричен относительно начала координат и подынтегральная функция нечетна, данный интеграл равен нулю.

15. Так как промежуток интегрирования симметричен относительно начала координат и подынтегральная функция четна, то имеет место равенство: (см. свойство 9 ).