Предыдущий уровень изложения текущего раздела   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Первый уровень изложения следующего раздела   Уровень: Глоссарии:


Многократные измерения



Многократное измерение одной и той же величины постоянного размера производится при повышенных требованиях к точности измерений. Такие измерения характерны для профессиональной метрологической деятельности и выполняются в основном сотрудниками государственной и ведомственных метрологических служб, а так же при тонких научных экспериментах. Это сложные, трудоемкие и дорогостоящие измерения, целесообразность которых должна быть всегда убедительно обоснована. Один из создателей теории информации Л. Бриллюэн в статье "Теория информации ее приложение к фундаментальным проблемам физики" привел слова Д. Габора о том, что "ничто не дается даром, в том числе информация".

В полной мере это относится к измерительной информации.

Метрологический анализ многократного измерения показывает, что главной его особенностью является получение и использование большого объема апостериорной измерительной информации. Это не означает, необходимость в анализе априорной информации отпадает. Такой анализ обязательно предшествует многократному измерению и преследует те же цели, что и при однократном измерении, но с той разницей, что при многократном измерении распределение вероятности результата измерения устанавливается экспериментально. После анализа априорной информации и тщательной подготовки к измерению получают n независимых значений отсчета . Эта основная измерительная процедура может быть организована по-разному. Если изменением измеряемой величины во времени можно пренебречь, то все значения отсчета, являющегося случайным числом, проще всего получить путем многократного повторения операции сравнения с помощью одного и того же средства измерений. Если же из априорной информации можно заключить, что за время такой процедуры измеряемая величина существенно изменится, то ее измеряют одновременно несколькими средствами измерений, каждое из которых дает одно из независимых значений отсчета. Все значения отсчета x, независимо от способа их получения, переводятся затем в показания X, в которые вносятся поправки i . Если многократные измерения выполняются одним средством измерений, то поправки могут отличаться друг от друга из-за изменения во времени влияющих факторов. Если же используются одновременно несколько средств измерений, то поправки отличаются из за индивидуальных особенностей каждой из них. Для простоты будем считать их известными точно.

Весь массив экспериментальных данных: характеризует результат измерения Q. Он может быть также описан с помощью функции распределения вероятности Q. Но нужно проверить, не было ли допущено ошибок при получении отдельных значений результата измерения.

Оценки числовых характеристик законов распределения вероятности случайных чисел или величин, изображаемые точкой на числовой оси, называются точечными, интервалом - интервальными. Примером последних служат доверительные интервалы. В отличие от самих числовых характеристик оценки являются случайными, причем их значения зависят от объема экспериментальных данных, а законы распределения вероятности - от законов распределения вероятности самих случайных чисел или значений измеряемых величин. Оценки должны удовлетворять трем требованиям: быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Состоятельной называется оценка, которая сходится по вероятности к оцениваемой числовой характеристике.

Несмещенной является оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике.
ќффективной называют ту из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшую дисперсию.

Рассмотрим n независимых значений Q i , полученных при измерении физической величины постоянного размера. Пусть, как и раньше, каждое из них отличается от среднего значения на i :

где случайная величина подчиняется центрированному симметричному закону распределения вероятности. Сложив между собой левые и правые части этих уравнений и разделив их на n, получим

В пределе при n ®

Здесь

так что значение

сходящееся по вероятности к , при симметричном законе распределения вероятности результата измерения может служить состоятельной точечной оценкой его среднего значения. Оно называется средним арифметическим. Математическое ожидание среднего арифметического

Поэтому среднее арифметическое является не только состоятельной, но и несмещенной оценкой среднего значения результата измерения. Оно является также и эффективной оценкой, так как из всех других несмещенных оценок имеет наименьшую дисперсию. дисперсия среднего арифметического не зависима от закона распределения его вероятности:

(1)

В качестве точечной оценки дисперсии результата измерения по аналогии со средним арифметическим можно было бы взять:

При симметричных законах распределения вероятности результата измерения эта оценка является состоятельной, так как при n®

второе слагаемое в правой части стремится к нулю, поскольку , а первое ? к 2Q. Но

т. е. такая оценка является смещенной. Несмещенную оценку можно получить, умножив ее на коэффициент n / n - 1.

При n ®

этот коэффициент стремится к 1, так что несмещенная точечная оценка дисперсии и результата измерения

остаются состоятельной. Квадратный корень из нее

называется стандартным отклонением.

Оценив среднее значение и среднее квадратическое отклонение Q и результата измерения, можно, используя вместо этих числовых характеристик их точечные оценки и SQ, по "правилу трех сигм" проверить, не являются ли некоторые сомнительные значения Q i ошибочными. Если окажется, что они отличаются от среднего арифметического больше чем на 3 SQ, то их следует отбросить. После этого рассчитываются окончательные значения и SQ.

При оценке числовых характеристик закона распределения вероятности результата измерения, при исключении ошибок и для всей дальнейшей обработке экспериментальных данных принципиальным является допущение, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности. Справедливость этого допущения также надо проверить.

Правдоподобно или нет допущение о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения, можно оценить по виду гистограммы, построенной на основании экспериментальных данных. Наглядность отображения гистограммой закона распределения вероятности результата измерения зависит от соблюдения следующих правил при ее построении:

  1. интервалы Q, на которые разбивается ось абсцисс, следует выбирать, по возможности, одинаковыми;
  2. число интервалов k устанавливать в соответствии со следующими данными: 
    3. 
 
     Число измерений      Рекомендуемое число интервалов
    


     40 . . . 100                                7 . . .  9
    


     100 . . . 500                               8 . . . 12
    


     500 . . . 1000                             10 . . . 16
    


     1000 . . . 10000                           12 . . . 22
  3. масштаб гистограммы выбирать так, чтобы ее высота относилась к основанию примерно,как

    5 к 8.

Иногда по виду гистограммы можно с большой уверенностью заключить, что результат измерения подчиняется (или не подчиняется) нормальному закону распределения вероятности.

Рис. 1

Если, например гистограмма имеет вид, показанный на рис. 1, а, то результат измерения определенно не подчиняется нормальному закону. Если же гистограмма имеет вид, показанный на рис. 1, б , то возникает сомнение: достаточно ли хорошо она соответствует теоретической кривой нормального закона распределения плотности вероятности, показанной пунктиром№ Для разрешения этого сомнения нужно иметь правило, руководствуясь которым можно было бы принимать то или иное решение.

Существует несколько так называемых критериев согласия, по которым проверяются гипотезы о соответствии экспериментальных данных тому или иному закону распределения вероятности результата измерения. Наиболее распространенным из них является критерий К. Пирсона.

При использовании этого критерия за меру расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом распределения вероятности результата измерения принимается сумма квадратов отклонения частостей mi / n от теоретической вероятности Piпопадания отдельного значения результата измерения в i - й интервал, причем каждое слагаемое берется с коэффициентом n /P i:

Если расхождение случайно, то 2 подчиняется 2- распределению (хи-квадрат)- распределению К. Пирсона. Интегральная функция определяет вероятность того, что случайное число примет значение, меньше аргумента этой функции. Поэтому, задавшись значением интегральной функции распределения К. Пирсона F(20) , можно проверить, больше или меньше ее аргумента вычисленное значение 2. Если меньше, то с выбранной вероятностьюможно считать случайным числом, подчиняющимся 2 - распределению К. Пирсона, т. е. признать случайным расхождение между эмпирической и теоретической плотностью распределения вероятности результата измерения. Если же окажется, что 2>20, то с той же вероятностью придется признать, что 2 не подчиняется распределению К. Пирсона, т. е. гипотеза о соответствии эмпирического закона распределения вероятности теоретически не подтверждается.

Критерий согласия К. Пирсона широко применяется для проверки гипотез о том, что результат измерения подчиняется вполне определенному закону распределения вероятности. При 2 20

соответствующая гипотеза принимается, при 220 - отвергается, однако во всех случаях даже выполнение неравенства 2 20, не может служить доказательством того, что результат измерения подчиняется этому закону распределения вероятности.

При использовании критерия К. Пирсона, как и в случае применения других критериев, возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода состоит в отклонении верной гипотезы, а ошибка второго рода - в принятии неправильной.

Если вероятности, с которой выносится решение, соответствует значение 20, то при всех 2 20 гипотеза будет приниматься, а при всех 220 - отклонятся. Вероятности ошибок первого и второго рода при этом:

Обе они зависят от значения 20, которое в свою очередь определяется вероятностью P = F(20), с которой принимается решение. С повышением этой вероятности значение 20 увеличивается, вероятность ошибки первого рода уменьшается, а ошибки второго рода - возрастает, и наоборот. Таким образом, нецелесообразно принимать решение с очень высокой степенью вероятности. Обычно P выбирается равной 0,9...0,95.

При проверке нормальности закона распределения вероятности результата измерения применение критерия К. Пирсона дает хорошие результаты только, если n>40...50.

При 10. . . 15 n < 40...50 принимается так называемый составной критерий .

Сначала рассчитывается

и проверяется выполнение условия dmin d dmax,

где dmin и dmax зависят от вероятности P*, с которой принимается решение, и находятся по табл. Приложение 10

Если условие соблюдается, то дополнительно проверяются "хвосты" теоретического и эмпирического законов распределения вероятности. При 10<n<20 считается допустимым отклонение одного из независимых значений результата измерения Qiот среднего арифметического больше чем на 2,5 SQ, при 20<n<50 - двух, что соответствует доверительной вероятности P**II » 0,98. Несоблюдения хотя бы одного из этих условий достаточно для того, чтобы гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения была отвергнута. В противоположном случае гипотеза принимается с вероятностью P>P*I +P**II-1.

При n < 10. . . 15 гипотеза о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, не проверяется. Решение принимается на основании анализа априорной информации.

Основополагающая идея многократного измерения одной и той же величины постоянного размера состоит в переходе от результата измерения Q к его среднему арифметическому .

Среднее арифметическое, как и результат измерения, является случайным значением измеряемой величины, но график дифференциальной функции распределения его вероятности уже, чем график дифференциальной функции распределения вероятности результата измерения. Согласно соотношению (15), дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии результата измерения, а стандартное отклонение

Если результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, то его среднее арифметическое при большом количестве экспериментальных данных (n >40. . . 50) также подчиняется нормальному закону с тем же средним значением. Ни одно из результата измерения, подчиняющегося нормальному закону, с вероятностью

P = 2F(t)-1

не отличается от среднего значения больше чем на половину доверительного интервала. Заменив среднее квадратическое отклонение среднего арифметического его точечной оценкой можно написать

Но среднее значение результата измерения Q.

Следовательно,

Доверительный интервал среднего арифметического в раз уже доверительного интервала результата измерения. Следовательно, точность многократного измерения в раз выше, чем точность однократного измерения, а количество получаемой измерительной информации, на

больше.

При нормальном законе распределения вероятности результата измерения и сравнительно небольшом количестве экспериментальных данных (n 30. . . 40) среднее арифметическое подчиняется закону распределения вероятности Стьюдента с тем же средним значением .

При увеличении n распределение вероятности Стьюдента быстро приближается к нормальному, становясь почти неотличимым от него уже при n > 20. . . 30.

Доверительная вероятность того, что любое значение случайного числа, подчиняющегося закону распределения вероятности Стьюдента, не отличается от среднего значения более чем на половину доверительного интервала, определяется по формуле

(2)

Здесь Sn(t) - интегральная функция распределения вероятности Стьюдента. При n = 4, например, вероятность того, что никакое значение случайного числа, подчиняющегося закону распределения вероятности Стьюдента, не отличается от среднего значения более чем на 2 x, составляет 0,86; при n = 6 она равна 0,9; при n = 10 равна 0,924; при n = 20 равна 0,940 и т. д.

Порядок расчетов при незначительном количестве экспериментальных данных и принятой гипотезе о том, что распределение вероятности результата измерения подчиняется нормальному закону. Выявление ошибок по ?правилу трех сигм? при n 10. . . 15 не производится. Доверительный интервал, с уменьшением объема экспериментальных данных расширяется; точность измерения при этом, следовательно, снижается, приближаясь к точности однократного измерения при n ®1.

Если гипотеза о нормальности результата измерения отклоняется, то по виду гистограммы можно выдвинуть хотя бы гипотезу о симметричности или несимметричности закона распределения вероятности результата измерения. При симметричном характере гистограммы с помощью тех же критериев проверяется соответствие закона распределения вероятности результата измерения одной из стандартных аппроксимирующих функций.

Выбор стандартной аппроксимирующей функции осуществляется на основе априорной информации. Например, при измерении частоты цифровым частотометром, основанным на счете импульсов, заранее известно, что результат измерения подчиняется треугольному закону распределения вероятности. Поэтому, если другими влияющими факторами можно пренебречь,

в качестве стандартной аппроксимации естественно выбрать именно эту функцию. По критерию согласия проверяется, согласуется ли характер экспериментальных данных с гипотезой о том, что результат измерения подчиняется такому закону распределения вероятности или нет. Результат проверки не служит доказательством, а лишь устанавливает степень правдоподобия гипотезы. Нередко эмпирическое распределение вероятности удовлетворительно аппроксимируется различными функциями, что говорит о том, что задача имеет не единственное решение.

Особенность стандартных аппроксимирующих функций состоит в том, что они являются усеченными . Для таких функций смысл доверительного интервала, соответствующего некоторой доверительной вероятности, теряется. Вместо него по МИ 1317 - 86 "ГСИ. Результаты измерений и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроля их параметров" используется аналог доверительного интервала, полуширина которого равна a , где а - аналог коэффициента t- берется из таблицы, а вместо среднего квадратического отклонения используется, как обычно, его оценка.

Если по виду гистограммы нельзя предположить, что закон распределения вероятности результата измерения является симметричным, или если не подходит ни одна из аппроксимирующих функций, то при особо точных и ответственных измерениях может возникнуть задача определения реального закона распределения вероятности результата измерения. Однозначного решения она не имеет, и вывод о том, что экспериментально найденная плотность распределения вероятности подчиняется какому-то конкретному закону, может быть сделан лишь с той или иной вероятностью. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим регламентированы ГОСТ 11.006 - 74. Основные требования к проведению исследований, порядок математической обработки эмпирических данных и выбора математической модели распределения установлен специальным документом Госстандарта МИ 199-79. Это довольно сложная и трудоемкая процедура, требующая значительных дополнительных затрат, и необходимость ее в каждом отдельном случае должна быть технико - экономически обоснована.

Гораздо чаще, в таких случаях, поступаясь точностью, устанавливают пределы, за которыми не может оказаться значение измеряемой величины ни при каком законе распределения вероятности результата измерения. Если, например, гистограмма носит несимметричный характер, то среднее арифметическое не является состоятельной и несмещенной оценкой среднего значения, а последнее, в свою очередь, нет оснований считать равным значению измеряемой величины. В этом случае среднее арифметическое рассматривают просто как новую переменную, дисперсия которой по соотношению (1) в n раз меньше дисперсии результата измерения. Оценка дисперсии и стандартное отклонение результата измерения, использовавшиеся ранее, также оказываются в этом случае несостоятельными. Поэтому оценку дисперсии результата измерения находят, используя четвертое свойство дисперсии и заменяя фигурирующие там математические ожидания средними арифметическими значениями:

Стандартное отклонение среднего арифметического тогда

Вероятность того, что отдельное значение случайного числа при любом законе распределения не будет отличаться от среднего значения больше чем на половину доверительного интервала, устанавливается неравенством П.Л. Чебышева:

Заменяя среднее квадратическое отклонение среднего арифметического его оценкой, полагая, что среднее значение его равно примерно Q, и выполняя вычисления в последовательности, получают

где =tS- половина доверительного интервала, определяемая значением t.

При неизвестном, но симметричном законе распределения вероятности результата измерения можно пользоваться прежней оценкой среднего квадратического отклонения среднего арифметического. Неравенство П. Л. Чебышева в этом случае имеет вид:

нижняя граница вероятности того, что любое значение случайного числа не отличается от среднего значения больше чем на половину доверительного интервала, проходит выше и левее, и точность измерения получается более высокой.

Многократное измерение одной и той же величины постоянного размера позволяет обеспечить требуемую точность. Поскольку ширина доверительного интервала зависит от количества экспериментальных данных, то, увеличивая n, можно добиться выполнения наперед заданного условия:

0

На практике беспредельно повышать таким способом точность измерения не удается, так как рано или поздно определяющим становится не рассеяние среднего арифметического, а недостаток информации (выражающийся, например, в незнании точного значения поправок и т. п.). Накапливать экспериментальные данные и уменьшать за счет этого стандартное отклонение среднего арифметического имеет смысл лишь до тех пор, пока по критерию им нельзя пренебречь по сравнению с аналогом среднего квадратического отклонения, учитывающим дефицит информации. Точность многократного измерения, следовательно, ограничивается дефицитом информации.