|
|
|
|
|
|
||
2.1 Решения.
Если разделить промежуток [0,1] на n равных частей, то получим: 
, 
. Тогда 
, так как 
.
Устремляя 
, получим 
.
Разделим промежуток интегрирования на n равных частей. Так как длина его равна 3, то длина каждой части будет 
и, очевидно, будет стремиться к нулю при . Тогда точки деления будут иметь координаты 
. Так как точки 
, по условию, находятся в середине отрезков 
, то 
и 
. Теперь вычислим интегральную сумму 
.
Учитывая, что 
, получим: 
.
Теперь можно вычислить предел этой суммы 
Разделим промежуток [1,2] на n равных частей. Тогда длина каждой части будет равна 1 / n и точки деления будут иметь координаты 
, где i = 0,1,:n. Левый конец i-i-го промежутка 
и 
.
Составим интегральную сумму 
.
Переходя к пределу, получим 
.
Если данный промежуток, длина которого равна двум, разделить на n равных частей, то длина каждой части будет равна 2 / n и координаты точек деления будут: 
, где i = 0,1,:n. Выберем в качестве точек правый конец i-го промежутка, тогда 
и 
. Под знаком суммы стоит геометрическая прогрессия со знаменателем 
. Поэтому 
.
Вспоминая , что 
, получим 
.
Так как функция интегрируема, если предел интегральной суммы один и тот же независимо от способа деления промежутка на части и выбора промежуточных точек , то достаточно указать два набора точек, при которых пределы 
будут различными.
Разделим промежуток интегрирования на равные части, длина каждой из которых будет 1/ n. Так как на каждом промежутке можно найти как рациональную точку, так и иррациональную, то сначала в качестве точек возьмем рациональные точки. Тогда 
и 
. Затем выберем в качестве точек иррациональные точки. Тогда 
и 
, что и доказывает данное утверждение.
Рассмотрим промежуток интегрирования [0,1]. Возьмем функцию 
.
Как в задаче 5 , разделив промежуток интегрирования на равные части и выбрав в качестве промежуточных точек сначала рациональные точки, а затем иррациональные, получим интегральную сумму , равную 1 и -1, соответственно.
Очевидно, что функция 
интегрируема.