|
|
|
|
|
|
||
1.4 Интегрирование тригонометрических функций.
1. Интегралы вида 
, где 
рациональная функция от u и v.
Интегралы указанного вида сводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной t с помощью подстановки 
, которую называют универсальной тригонометрической подстановкой. При этом используются формулы тригонометрии 
. Смотри пример 1 .
Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому чаще применяются другие подстановки.
2. Подынтегральная функция 
удовлетворяет условию
(1)
или условию
. (2)
Тогда можно использовать подстановку 
, 
или 
, 
соответственно. Смотри пример 2 .
3. Подынтегральная функция удовлетворяет условию
. Это условие выполняется в частности для функций, содержащих только четные степени 
и 
В этом случае часто применяют замену переменной 
, где или 
, где .При этом, так как 
или 
,то 
. Функции и выражаются через t с помощью тригонометрических формул 
и 
. Смотри пример 3 .
4. Вычисление интегралов вида 
, где m и n ? целые числа.
В этом случае полезно пользоваться следующими правилами:
А) если m - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или, (что то же самое) делаем замену переменной . При этом число n может быть рациональной дробью. Аналогично, если n - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или применяем подстановку . Сравни с 1. Смотри пример 4 .
Б) если оба показателя m и n - четные положительные числа, то подынтегральную функцию преобразуют с помощью формул понижения степени: 
, 
и 
. Смотри пример 5 .
В) если число m+n является четным отрицательным числом, то можно сделать замену переменной или . Смотри пример 6 .
Г) если степени m и n отрицательны, то часто бывает полезным уменьшить степени с помощью основного тригонометрического тождества. Смотри пример 7 .
Примечание. В общем случае интегралы вида , где m и n - целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путем интегрирования по частям.
5. При вычислении интегралов вида 
или 
где m - натуральное число, 
используют тригонометрические формулы 
или, соответственно, 
. Смотри пример 8 .
Для вычисления интегралов указанного вида применяют тригонометрические формулы:
Смотри пример 9 .
, 
, 
.