|
|
|
|
|
|
||
1.3. Примеры.
Пример1 Разложить рациональную дробь 
на простейшие дроби. Коэффициенты разложения найти двумя способами.
Решение.
Данная дробь - правильная (степень числителя 
, степень знаменателя 
, 
).
I шаг. Разложим знаменатель данной дроби на простые вещественные множители:
.
Знаменатель дроби имеет три вещественных различных корня, поэтому каждому из них будет соответствовать одна дробь.
II шаг. Напишем вид разложения данной дроби на простейшие согласно равенству (1) п.1.3 :
(1)
III шаг. Приведем дроби в правой части равенства (1) к общему знаменателю:
.
Так как равны знаменатели дробей, то равны и их числители:
(2).
Теперь находим коэффициенты 
Способ первый. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x. Преобразуем правую часть равенства (2):
, т.о. равенство (2) можно записать в виде:
(3).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства (3), т.е. при 
(свободный член), получим систему уравнений для нахождения коэффициентов 
:
решая эту систему, получаем 
, 
, 
.
Способ второй (метод подстановки подходящих численных значений аргумента).
Подставляем в тождество (2) численные значения x. В данном случае наиболее удобно положить 
, 
, 
. Получаем:
если , то 
, следовательно,
если , то 
, следовательно,
если , то 
, следовательно,
Замечание. Значения коэффициентов получаются одни и те же, независимо от способа вычисления.
Итак, исходя из равенства (1), получаем разложение данной дроби на простейшие:
Пример2. разложить рациональную дробь 
на простейшие дроби.
Решение.
Данная дробь правильная.
I шаг. Разложим знаменатель дроби на простейшие множители:
Знаменатель дроби имеет два вещественных корня. Корень 
простой и корень 
кратности 2.
II шаг. Разложение данной дроби на простейшие согласно равенству (1) п.1.3 имеет вид:
(4)
т.е. множителю 
соответствует одна дробь, а множителю 
- две дроби.
III шаг. Приводим дроби в правой части к общему знаменателю
, откуда следует равенство числителей:
(5)
IV шаг. Находим коэффициенты 
. Для вычисления коэффициентов используем смешанный способ ? сначала подставим в (5) значения:
, тогда 
, следовательно, 
и
, тогда 
, следовательно, 
Затем приравняем коэффициенты при 
: 
, откуда получаем 
.
Исходя из равенства (4), получаем разложение данной дроби на простейшие:
Пример3 Разложить рациональную дробь 
на простейшие дроби.
Решение.
Дробь правильная.
I шаг. Знаменатель данной дроби уже представлен в виде произведения простейших вещественных множителей, т.к. множитель 
не имеет вещественных корней.
II шаг. Согласно равенству (1) п.1.3 имеем:
(6)
III шаг. Из тождества (6) следует тождество
(7)
IV шаг. Для вычисления коэффициентов 
используем смешанный способ. В тождестве (7) положим:
, тогда 
, следовательно, 
, тогда 
, следовательно, 
Теперь приравняем коэффициенты при в левой и правой частях тождества (7), получим:
, следовательно, 
Из равенства (6) получаем разложение данной дроби на простейшие:
Пример4. Найти интеграл 
.
Решение.
Подынтегральная функция 
есть правильная рациональная дробь. Разложим ее на простейшие дроби. Для этого:
1) разложим знаменатель на простейшие вещественные множители (если это возможно).
Найдем корни множителя 
:
и 
Значит, 
. Тогда для знаменателя справедливо: 
.
Таким образом, знаменатель дроби имеет только вещественные корни: простой корень и корень 
кратности 2.
2) В соответствии с равенством (1) п.1.3 : имеем:
,
откуда получаем тождество.
3) 
4) находим коэффициенты используя смешанный метод. Сначала в тождестве 3) полагаем:
, тогда 
, следовательно, 
, тогда 
, следовательно, 
теперь приравняем свободные члены в правой и левой частях равенства 3): 
, откуда 
.
Тогда 
Теперь перейдем к вычислению интеграла:
Пример5. Найти интеграл 
.
Решение.
Разложение подынтегральной дроби на простейшие имеет вид (см. пример3):
, тогда
.